Theorem dfnnc2 4396

Description: Definition of the finite cardinals for existence theorem. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfnnc2	|- Nn = |^|({x | 0c e. x} \ (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c))

Proof of Theorem dfnnc2

Dummy variables y z w t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nnc 4380	. 2 |- Nn = |^|{y | (0c e. y /\ A.z e. y (z +o 1c) e. y)}
2		eldif 3222	. . . . 5 |- (y e. ({x | 0c e. x} \ (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c)) <-> (y e. {x | 0c e. x} /\ -. y e. (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c)))
3		vex 2863	. . . . . . 7 |- y e. _V
4		eleq2 2414	. . . . . . 7 |- (x = y -> (0c e. x <-> 0c e. y))
5	3, 4	elab 2986	. . . . . 6 |- (y e. {x | 0c e. x} <-> 0c e. y)
6		snex 4112	. . . . . . . . . . . 12 |- {z} e. _V
7		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = {z} -> <<t, y>> = <<{z}, y>>)
8	7	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = {z} -> (<<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))) <-> <<{z}, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))))
9	6, 8	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . 11 |- (E.t(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))) <-> <<{z}, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))))
10		eldif 3222	. . . . . . . . . . . 12 |- (<<{z}, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))) <-> (<<{z}, y>> e. Sk /\ -. <<{z}, y>> e. ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))))
11		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
12	11, 3	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<<{z}, y>> e. Sk <-> z e. y)
13		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- {w} e. _V
14		opkeq2 4061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (t = {w} -> <<{z}, t>> = <<{z}, {w}>>)
15	14	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t = {w} -> (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) <-> <<{z}, {w}>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))
16		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. _V
17	11, 16	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (<<{z}, {w}>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) <-> <<z, w>> e. Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))
18	15, 17	syl6bb 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = {w} -> (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) <-> <<z, w>> e. Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))
19		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t = {w} -> <<t, y>> = <<{w}, y>>)
20	19	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = {w} -> (<<t, y>> e. Sk <-> <<{w}, y>> e. Sk ))
21	18, 20	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t = {w} -> ((<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk ) <-> (<<z, w>> e. Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<{w}, y>> e. Sk )))
22	13, 21	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.t(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )) <-> (<<z, w>> e. Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<{w}, y>> e. Sk ))
23		opkelimagekg 4272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. _V /\ w e. _V) -> (<<z, w>> e. Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) <-> w = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)"kz)))
24	11, 16, 23	mp2an 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (<<z, w>> e. Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) <-> w = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)"kz))
25		dfaddc2 4382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z +o 1c) = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)"kz)
26	25	eqeq2i 2363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w = (z +o 1c) <-> w = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)"kz))
27	24, 26	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (<<z, w>> e. Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) <-> w = (z +o 1c))
28	16, 3	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (<<{w}, y>> e. Sk <-> w e. y)
29	27, 28	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((<<z, w>> e. Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<{w}, y>> e. Sk ) <-> (w = (z +o 1c) /\ w e. y))
30	22, 29	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.t(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )) <-> (w = (z +o 1c) /\ w e. y))
31	30	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.wE.t(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )) <-> E.w(w = (z +o 1c) /\ w e. y))
32	6, 3	opkelcok 4263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (<<{z}, y>> e. ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)) <-> E.t(<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk ))
33		el1c 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t e. 1c <-> E.w t = {w})
34	33	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. 1c /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )) <-> (E.w t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
35		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.w(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )) <-> (E.w t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
36	34, 35	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((t e. 1c /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )) <-> E.w(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
37	36	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.t(t e. 1c /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )) <-> E.tE.w(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
38		sikss1c1c 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) C_ (1c X.k 1c)
39	38	sseli 3270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) -> <<{z}, t>> e. (1c X.k 1c))
40		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- t e. _V
41	6, 40	opkelxpk 4249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (<<{z}, t>> e. (1c X.k 1c) <-> ({z} e. 1c /\ t e. 1c))
42	41	simprbi 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (<<{z}, t>> e. (1c X.k 1c) -> t e. 1c)
43	39, 42	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) -> t e. 1c)
44	43	pm4.71ri 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) <-> (t e. 1c /\ <<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))
45	44	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk ) <-> ((t e. 1c /\ <<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)) /\ <<t, y>> e. Sk ))
46		anass 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((t e. 1c /\ <<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)) /\ <<t, y>> e. Sk ) <-> (t e. 1c /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
47	45, 46	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk ) <-> (t e. 1c /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
48	47	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.t(<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk ) <-> E.t(t e. 1c /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
49		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.wE.t(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )) <-> E.tE.w(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
50	37, 48, 49	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.t(<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk ) <-> E.wE.t(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
51	32, 50	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (<<{z}, y>> e. ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)) <-> E.wE.t(t = {w} /\ (<<{z}, t>> e. SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) /\ <<t, y>> e. Sk )))
52		df-clel 2349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z +o 1c) e. y <-> E.w(w = (z +o 1c) /\ w e. y))
53	31, 51, 52	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<<{z}, y>> e. ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)) <-> (z +o 1c) e. y)
54	53	notbii 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. <<{z}, y>> e. ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)) <-> -. (z +o 1c) e. y)
55	12, 54	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<<{z}, y>> e. Sk /\ -. <<{z}, y>> e. ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))) <-> (z e. y /\ -. (z +o 1c) e. y))
56	10, 55	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 |- (<<{z}, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))) <-> (z e. y /\ -. (z +o 1c) e. y))
57	9, 56	bitri 240	. . . . . . . . . 10 |- (E.t(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))) <-> (z e. y /\ -. (z +o 1c) e. y))
58	57	exbii 1582	. . . . . . . . 9 |- (E.zE.t(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))) <-> E.z(z e. y /\ -. (z +o 1c) e. y))
59	3	elimak 4260	. . . . . . . . . 10 |- (y e. (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c) <-> E.t e. 1c <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))))
60		el1c 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. 1c <-> E.z t = {z})
61	60	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t e. 1c /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))) <-> (E.z t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))))
62		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . 13 |- (E.z(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))) <-> (E.z t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))))
63	61, 62	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . 12 |- ((t e. 1c /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))) <-> E.z(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))))
64	63	exbii 1582	. . . . . . . . . . 11 |- (E.t(t e. 1c /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))) <-> E.tE.z(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))))
65		df-rex 2621	. . . . . . . . . . 11 |- (E.t e. 1c <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))) <-> E.t(t e. 1c /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))))
66		excom 1741	. . . . . . . . . . 11 |- (E.zE.t(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))) <-> E.tE.z(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))))
67	64, 65, 66	3bitr4i 268	. . . . . . . . . 10 |- (E.t e. 1c <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c))) <-> E.zE.t(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))))
68	59, 67	bitri 240	. . . . . . . . 9 |- (y e. (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c) <-> E.zE.t(t = {z} /\ <<t, y>> e. ( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))))
69		df-rex 2621	. . . . . . . . 9 |- (E.z e. y -. (z +o 1c) e. y <-> E.z(z e. y /\ -. (z +o 1c) e. y))
70	58, 68, 69	3bitr4i 268	. . . . . . . 8 |- (y e. (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c) <-> E.z e. y -. (z +o 1c) e. y)
71		rexnal 2626	. . . . . . . 8 |- (E.z e. y -. (z +o 1c) e. y <-> -. A.z e. y (z +o 1c) e. y)
72	70, 71	bitr2i 241	. . . . . . 7 |- (-. A.z e. y (z +o 1c) e. y <-> y e. (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c))
73	72	con1bii 321	. . . . . 6 |- (-. y e. (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c) <-> A.z e. y (z +o 1c) e. y)
74	5, 73	anbi12i 678	. . . . 5 |- ((y e. {x | 0c e. x} /\ -. y e. (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c)) <-> (0c e. y /\ A.z e. y (z +o 1c) e. y))
75	2, 74	bitri 240	. . . 4 |- (y e. ({x | 0c e. x} \ (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c)) <-> (0c e. y /\ A.z e. y (z +o 1c) e. y))
76	75	eqabi 2465	. . 3 |- ({x | 0c e. x} \ (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c)) = {y | (0c e. y /\ A.z e. y (z +o 1c) e. y)}
77	76	inteqi 3931	. 2 |- |^|({x | 0c e. x} \ (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c)) = |^|{y | (0c e. y /\ A.z e. y (z +o 1c) e. y)}
78	1, 77	eqtr4i 2376	1 |- Nn = |^|({x | 0c e. x} \ (( Sk \ ( Sk o.k SIk Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c)))"k1c))

Syntax hints:  -. wn 3   <-> wb 176   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339  A.wral 2615  E.wrex 2616  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   \ cdif 3207   u. cun 3208   i^i cin 3209   (+) csymdif 3210  {csn 3738  |^|cint 3927  <<copk 4058  1_cc1c 4135  ~P₁ cpw1 4136   X._k cxpk 4175   Ins2_k cins2k 4177   Ins3_k cins3k 4178  "_kcimak 4180   o._k ccomk 4181   SI_k csik 4182  Image_kcimagek 4183   S_k cssetk 4184   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   +o cplc 4376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-addc 4379  df-nnc 4380

This theorem is referenced by:  nncex  4397