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Theorem nndisjeq 4429
Description: Either two naturals are disjoint or they are the same natural. Theorem X.1.18 of [Rosser] p. 526. (Contributed by SF, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
nndisjeq Nn Nn

Proof of Theorem nndisjeq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2862 . . . . . . . 8
21elcompl 3225 . . . . . . 7 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k k Nn Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k k Nn
31elimak 4259 . . . . . . . . 9 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k k Nn Nn Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k
4 opkex 4113 . . . . . . . . . . . 12
54elcompl 3225 . . . . . . . . . . 11 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k
6 elun 3220 . . . . . . . . . . . 12 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k
7 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87, 1ndisjrelk 4323 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c
98notbii 287 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c
104elcompl 3225 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c
11 df-ne 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211con2bii 322 . . . . . . . . . . . . . 14
139, 10, 123bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . 13 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c
14 opkelidkg 4274 . . . . . . . . . . . . . 14 k
157, 1, 14mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13 k
1613, 15orbi12i 507 . . . . . . . . . . . 12 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k
17 incom 3448 . . . . . . . . . . . . . 14
1817eqeq1i 2360 . . . . . . . . . . . . 13
19 eqcom 2355 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19orbi12i 507 . . . . . . . . . . . 12
216, 16, 203bitri 262 . . . . . . . . . . 11 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k
225, 21xchbinx 301 . . . . . . . . . 10 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k
2322rexbii 2639 . . . . . . . . 9 Nn Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k Nn
24 rexnal 2625 . . . . . . . . 9 Nn Nn
253, 23, 243bitri 262 . . . . . . . 8 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k k Nn Nn
2625con2bii 322 . . . . . . 7 Nn Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k k Nn
272, 26bitr4i 243 . . . . . 6 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k k Nn Nn
2827abbi2i 2464 . . . . 5 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k k Nn Nn
29 ssetkex 4294 . . . . . . . . . . . . 13 Sk
3029ins3kex 4308 . . . . . . . . . . . 12 Ins3k Sk
3129ins2kex 4307 . . . . . . . . . . . 12 Ins2k Sk
3230, 31inex 4105 . . . . . . . . . . 11 Ins3k Sk Ins2k Sk
33 1cex 4142 . . . . . . . . . . . . 13 1c
3433pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . 12 1 1c
3534pw1ex 4303 . . . . . . . . . . 11 1 1 1c
3632, 35imakex 4300 . . . . . . . . . 10 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c
3736complex 4104 . . . . . . . . 9 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c
38 idkex 4314 . . . . . . . . 9 k
3937, 38unex 4106 . . . . . . . 8 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k
4039complex 4104 . . . . . . 7 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k
41 nncex 4396 . . . . . . 7 Nn
4240, 41imakex 4300 . . . . . 6 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k k Nn
4342complex 4104 . . . . 5 Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c k k Nn
4428, 43eqeltrri 2424 . . . 4 Nn
45 df-0c 4377 . . . . . . . . . . 11 0c
4645eqeq2i 2363 . . . . . . . . . 10 0c
4746biimpi 186 . . . . . . . . 9 0c
4847ineq1d 3456 . . . . . . . 8 0c
4948eqeq1d 2361 . . . . . . 7 0c
50 incom 3448 . . . . . . . . 9
5150eqeq1i 2360 . . . . . . . 8
52 disjsn 3786 . . . . . . . 8
5351, 52bitri 240 . . . . . . 7
5449, 53syl6bb 252 . . . . . 6 0c
55 eqeq1 2359 . . . . . . 7 0c 0c
56 eqcom 2355 . . . . . . 7 0c 0c
5755, 56syl6bb 252 . . . . . 6 0c 0c
5854, 57orbi12d 690 . . . . 5 0c 0c
5958ralbidv 2634 . . . 4 0c Nn Nn 0c
60 ineq1 3450 . . . . . . . 8
6160eqeq1d 2361 . . . . . . 7
62 eqeq1 2359 . . . . . . 7
6361, 62orbi12d 690 . . . . . 6
6463ralbidv 2634 . . . . 5 Nn Nn
65 ineq2 3451 . . . . . . . 8
6665eqeq1d 2361 . . . . . . 7
67 equequ2 1686 . . . . . . 7
6866, 67orbi12d 690 . . . . . 6
6968cbvralv 2835 . . . . 5 Nn Nn
7064, 69syl6bb 252 . . . 4 Nn Nn
71 ineq1 3450 . . . . . . 7 1c 1c
7271eqeq1d 2361 . . . . . 6 1c 1c
73 eqeq1 2359 . . . . . 6 1c 1c
7472, 73orbi12d 690 . . . . 5 1c 1c 1c
7574ralbidv 2634 . . . 4 1c Nn Nn 1c 1c
76 ineq1 3450 . . . . . . 7
7776eqeq1d 2361 . . . . . 6
78 eqeq1 2359 . . . . . 6
7977, 78orbi12d 690 . . . . 5
8079ralbidv 2634 . . . 4 Nn Nn
81 nnc0suc 4412 . . . . . . 7 Nn 0c Nn 1c
82 0nelsuc 4400 . . . . . . . . . . . 12 1c
83 eleq2 2414 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
8483biimpcd 215 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c
8582, 84mtoi 169 . . . . . . . . . . 11 1c
8685adantr 451 . . . . . . . . . 10 Nn 1c
8786nrexdv 2717 . . . . . . . . 9 Nn 1c
88 orel2 372 . . . . . . . . 9 Nn 1c 0c Nn 1c 0c
8987, 88syl 15 . . . . . . . 8 0c Nn 1c 0c
9089com12 27 . . . . . . 7 0c Nn 1c 0c
9181, 90sylbi 187 . . . . . 6 Nn 0c
92 imor 401 . . . . . 6 0c 0c
9391, 92sylib 188 . . . . 5 Nn 0c
9493rgen 2679 . . . 4 Nn 0c
95 neq0 3560 . . . . . . . . 9 1c 1c
96 elin 3219 . . . . . . . . . . 11 1c 1c
97 elsuc 4413 . . . . . . . . . . . . 13 1c
98 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9998elcompl 3225 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10099anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . 15
101 simp1r 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn Nn Nn Nn
102 nnc0suc 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn 0c Nn 1c
103101, 102sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn Nn Nn 0c Nn 1c
104 ssun2 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10598snid 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
106104, 105sselii 3270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
107 n0i 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10945eleq2i 2417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0c
110 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
111 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
112110, 111unex 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
113112elsnc 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
114109, 113bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0c
115108, 114mtbir 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0c
116 eleq2 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0c 0c
117116biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0c 0c
118115, 117mtoi 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0c
119118adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn Nn Nn 0c
120 orel1 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0c 0c Nn 1c Nn 1c
121119, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn Nn Nn 0c Nn 1c Nn 1c
122 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Nn Nn Nn Nn 1c Nn
123 simpr3r 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Nn Nn Nn Nn
124123adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Nn Nn Nn Nn 1c
125 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Nn Nn Nn Nn 1c 1c
126110, 98nnsucelr 4428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Nn 1c
127122, 124, 125, 126syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Nn Nn Nn Nn 1c
128127ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Nn Nn Nn Nn 1c
129 ineq2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
130129eqeq1d 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
131 equequ2 1686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
132130, 131orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
133132rspccv 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Nn Nn
134 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
135 n0i 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
136134, 135sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
137 pm2.53 362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
138136, 137syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
139138exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
140133, 139syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Nn Nn
141140com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Nn Nn
142141imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Nn Nn
143142adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Nn Nn
1441433adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Nn Nn Nn Nn
145144impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Nn Nn Nn Nn
146128, 145syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn Nn Nn Nn 1c
147146ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn Nn Nn Nn 1c
148147com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Nn Nn Nn 1c Nn
149148imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Nn Nn Nn 1c Nn
150 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1c 1c
151149, 150syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nn Nn Nn 1c Nn 1c 1c
152 eleq2 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1c 1c
153152anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1c Nn Nn Nn Nn Nn Nn 1c
154 eqeq2 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1c 1c 1c 1c
155154imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1c Nn 1c Nn 1c 1c
156153, 155imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1c Nn Nn Nn Nn 1c Nn Nn Nn 1c Nn 1c 1c
157151, 156mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1c Nn Nn Nn Nn 1c
158157com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn Nn Nn Nn 1c 1c
159158rexlimdv 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn Nn Nn Nn 1c 1c
160121, 159syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn Nn Nn 0c Nn 1c 1c
161160ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn Nn Nn 0c Nn 1c 1c
162103, 161mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn Nn Nn 1c
1631623expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn Nn Nn 1c
164 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165164imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c 1c
166163, 165syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn Nn 1c
167100, 166sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn 1c
168167rexlimdvva 2745 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Nn 1c
16997, 168syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1c 1c
170169imp3a 420 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Nn 1c 1c
17196, 170syl5bi 208 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn 1c 1c
172171exlimdv 1636 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn 1c 1c
17395, 172syl5bi 208 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn 1c 1c
174173orrd 367 . . . . . . 7 Nn Nn Nn 1c 1c
175174exp31 587 . . . . . 6 Nn Nn Nn 1c 1c
176175com23 72 . . . . 5 Nn Nn Nn 1c 1c
177176ralrimdv 2703 . . . 4 Nn Nn Nn 1c 1c
17844, 59, 70, 75, 80, 94, 177finds 4411 . . 3 Nn Nn
179 ineq2 3451 . . . . . 6
180179eqeq1d 2361 . . . . 5
181 eqeq2 2362 . . . . 5
182180, 181orbi12d 690 . . . 4
183182rspccv 2952 . . 3 Nn Nn
184178, 183syl 15 . 2 Nn Nn
185184imp 418 1 Nn Nn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339   wne 2516  wral 2614  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cun 3207   cin 3208  c0 3550  csn 3737  copk 4057  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  kcimak 4179   Sk cssetk 4183   k cidk 4184   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379
This theorem is referenced by:  nnceleq  4430  sfinltfin  4535
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