Theorem elsni 3545

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3542	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
2	1	ibi 175	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-sn 3533

This theorem is referenced by:  elsn2g  3558  disjsn2  3586  sssnm  3681  disjxsn  3927  pwntru  4122  opth1  4158  elsuci  4325  ordtri2orexmid  4438  onsucsssucexmid  4442  sosng  4612  ressn  5079  funcnvsn  5168  funinsn  5172  fvconst  5608  fmptap  5610  fmptapd  5611  fvunsng  5614  mposnif  5865  1stconst  6118  2ndconst  6119  reldmtpos  6150  tpostpos  6161  1domsn  6713  ac6sfi  6792  onunsnss  6805  snon0  6824  snexxph  6838  elfi2  6860  supsnti  6892  djuf1olem  6938  eldju2ndl  6957  eldju2ndr  6958  difinfsnlem  6984  elreal2  7638  ax1rid  7685  ltxrlt  7830  un0addcl  9010  un0mulcl  9011  elfzonlteqm1  9987  fxnn0nninf  10211  1exp  10322  hashinfuni  10523  hashennnuni  10525  hashprg  10554  zfz1isolemiso  10582  fisumss  11161  sumsnf  11178  fsumsplitsn  11179  fsum2dlemstep  11203  fisumcom2  11207  divalgmod  11624  phi1  11895  dfphi2  11896  exmidunben  11939  txdis1cn  12447  bj-nntrans  13149  bj-nnelirr  13151  pwtrufal  13192  exmidsbthrlem  13217