ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclpi GIF version

Theorem addclpi 6483
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi
StepHypRef Expression
1 addpiord 6472 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
2 pinn 6465 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 6465 . . . . 5 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnacl 6090 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
53, 4sylan2 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 6470 . . . . 5 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7 nnaordi 6112 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
8 ne0i 3258 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
97, 8syl6 33 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
109expcom 113 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)))
1110imp32 248 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
126, 11sylan2b 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
13 elni 6464 . . . 4 ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
145, 12, 13sylanbrc 402 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)
152, 14sylan 271 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)
161, 15eqeltrd 2130 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409  wne 2220  c0 3252  ωcom 4341  (class class class)co 5540   +𝑜 coa 6029  Ncnpi 6428   +N cpli 6429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-ni 6460  df-pli 6461
This theorem is referenced by:  addasspig  6486  distrpig  6489  ltapig  6494  1lt2pi  6496  indpi  6498  addcmpblnq  6523  addpipqqslem  6525  addclnq  6531  addassnqg  6538  distrnqg  6543  ltanqg  6556  1lt2nq  6562  ltexnqq  6564  archnqq  6573  prarloclemarch2  6575  nqnq0a  6610  nntopi  7026
  Copyright terms: Public domain W3C validator