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Theorem prarloclemarch2 6574
Description: Like prarloclemarch 6573 but the integer must be at least two, and there is also 𝐵 added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 6658. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemarch2 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ∃𝑥N (1𝑜 <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem prarloclemarch2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prarloclemarch 6573 . . 3 ((𝐴Q𝐶Q) → ∃𝑧N 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
213adant2 934 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ∃𝑧N 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
3 pinn 6464 . . . . . . . 8 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
4 1pi 6470 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜N
54elexi 2584 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ V
65sucid 4181 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ suc 1𝑜
7 df-2o 6032 . . . . . . . . . 10 2𝑜 = suc 1𝑜
86, 7eleqtrri 2129 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ 2𝑜
9 2onn 6124 . . . . . . . . . . 11 2𝑜 ∈ ω
10 nnaword2 6117 . . . . . . . . . . 11 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 2𝑜 ⊆ (𝑧 +𝑜 2𝑜))
119, 10mpan 408 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → 2𝑜 ⊆ (𝑧 +𝑜 2𝑜))
1211sseld 2971 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (1𝑜 ∈ 2𝑜 → 1𝑜 ∈ (𝑧 +𝑜 2𝑜)))
138, 12mpi 15 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ω → 1𝑜 ∈ (𝑧 +𝑜 2𝑜))
143, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝑧N → 1𝑜 ∈ (𝑧 +𝑜 2𝑜))
15 o1p1e2 6078 . . . . . . . . 9 (1𝑜 +𝑜 1𝑜) = 2𝑜
16 addpiord 6471 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜N ∧ 1𝑜N) → (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
174, 4, 16mp2an 410 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
18 addclpi 6482 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜N ∧ 1𝑜N) → (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N)
194, 4, 18mp2an 410 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N
2017, 19eqeltrri 2127 . . . . . . . . 9 (1𝑜 +𝑜 1𝑜) ∈ N
2115, 20eqeltrri 2127 . . . . . . . 8 2𝑜N
22 addpiord 6471 . . . . . . . 8 ((𝑧N ∧ 2𝑜N) → (𝑧 +N 2𝑜) = (𝑧 +𝑜 2𝑜))
2321, 22mpan2 409 . . . . . . 7 (𝑧N → (𝑧 +N 2𝑜) = (𝑧 +𝑜 2𝑜))
2414, 23eleqtrrd 2133 . . . . . 6 (𝑧N → 1𝑜 ∈ (𝑧 +N 2𝑜))
25 addclpi 6482 . . . . . . . 8 ((𝑧N ∧ 2𝑜N) → (𝑧 +N 2𝑜) ∈ N)
2621, 25mpan2 409 . . . . . . 7 (𝑧N → (𝑧 +N 2𝑜) ∈ N)
27 ltpiord 6474 . . . . . . . 8 ((1𝑜N ∧ (𝑧 +N 2𝑜) ∈ N) → (1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (𝑧 +N 2𝑜)))
284, 27mpan 408 . . . . . . 7 ((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N → (1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (𝑧 +N 2𝑜)))
2926, 28syl 14 . . . . . 6 (𝑧N → (1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (𝑧 +N 2𝑜)))
3024, 29mpbird 160 . . . . 5 (𝑧N → 1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜))
3130adantl 266 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → 1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜))
3231adantrr 456 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜))
33 nna0 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) = 𝑧)
34 0lt1o 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ∅ ∈ 1𝑜
35 1on 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1𝑜 ∈ On
3635onsuci 4269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 suc 1𝑜 ∈ On
37 ontr1 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (suc 1𝑜 ∈ On → ((∅ ∈ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ suc 1𝑜) → ∅ ∈ suc 1𝑜))
3836, 37ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∅ ∈ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ suc 1𝑜) → ∅ ∈ suc 1𝑜)
3934, 6, 38mp2an 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ∅ ∈ suc 1𝑜
4039, 7eleqtrri 2129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ∈ 2𝑜
41 nnaordi 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 2𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 2𝑜)))
429, 41mpan 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 2𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 2𝑜)))
4340, 42mpi 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 2𝑜))
4433, 43eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 2𝑜))
453, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 2𝑜))
4645, 23eleqtrrd 2133 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +N 2𝑜))
47 ltpiord 6474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧N ∧ (𝑧 +N 2𝑜) ∈ N) → (𝑧 <N (𝑧 +N 2𝑜) ↔ 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2𝑜)))
4826, 47mpdan 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → (𝑧 <N (𝑧 +N 2𝑜) ↔ 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2𝑜)))
4946, 48mpbird 160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N𝑧 <N (𝑧 +N 2𝑜))
50 mulidpi 6473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
51 mulcompig 6486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → ((𝑧 +N 2𝑜) ·N 1𝑜) = (1𝑜 ·N (𝑧 +N 2𝑜)))
524, 51mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N → ((𝑧 +N 2𝑜) ·N 1𝑜) = (1𝑜 ·N (𝑧 +N 2𝑜)))
5326, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ((𝑧 +N 2𝑜) ·N 1𝑜) = (1𝑜 ·N (𝑧 +N 2𝑜)))
54 mulidpi 6473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N → ((𝑧 +N 2𝑜) ·N 1𝑜) = (𝑧 +N 2𝑜))
5526, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ((𝑧 +N 2𝑜) ·N 1𝑜) = (𝑧 +N 2𝑜))
5653, 55eqtr3d 2090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (1𝑜 ·N (𝑧 +N 2𝑜)) = (𝑧 +N 2𝑜))
5749, 50, 563brtr4d 3821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧N → (𝑧 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N (𝑧 +N 2𝑜)))
58 ordpipqqs 6529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧N ∧ 1𝑜N) ∧ ((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N (𝑧 +N 2𝑜))))
594, 58mpanl2 419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧N ∧ ((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N (𝑧 +N 2𝑜))))
604, 59mpanr2 422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N ∧ (𝑧 +N 2𝑜) ∈ N) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N (𝑧 +N 2𝑜))))
6126, 60mpdan 406 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧N → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N (𝑧 +N 2𝑜))))
6257, 61mpbird 160 . . . . . . . . . . 11 (𝑧N → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6362adantl 266 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q𝑧N) → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
64 opelxpi 4403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → ⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
654, 64mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
66 enqex 6515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ~Q ∈ V
6766ecelqsi 6190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6826, 65, 673syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
69 df-nqqs 6503 . . . . . . . . . . . . . 14 Q = ((N × N) / ~Q )
7068, 69syl6eleqr 2147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
71 opelxpi 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
724, 71mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧N → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
7366ecelqsi 6190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7574, 69syl6eleqr 2147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~QQ)
76 ltmnqg 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~QQ ∧ [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝐶Q) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )))
7775, 76syl3an1 1179 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N ∧ [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝐶Q) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )))
7870, 77syl3an2 1180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑧N𝐶Q) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )))
79783anidm12 1203 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝐶Q) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )))
8079ancoms 259 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q𝑧N) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )))
8163, 80mpbid 139 . . . . . . . . 9 ((𝐶Q𝑧N) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
82 mulcomnqg 6538 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~QQ) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
8375, 82sylan2 274 . . . . . . . . 9 ((𝐶Q𝑧N) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
84 mulcomnqg 6538 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ) → (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
8570, 84sylan2 274 . . . . . . . . 9 ((𝐶Q𝑧N) → (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
8681, 83, 853brtr3d 3820 . . . . . . . 8 ((𝐶Q𝑧N) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
87863ad2antl3 1079 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
8887adantrr 456 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
89 ltsonq 6553 . . . . . . . . . 10 <Q Or Q
90 ltrelnq 6520 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
9189, 90sotri 4747 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∧ ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
9291ex 112 . . . . . . . 8 (𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) → (([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
9392adantl 266 . . . . . . 7 ((𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)) → (([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
9493adantl 266 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → (([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
9588, 94mpd 13 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
96 mulclnq 6531 . . . . . . . . . 10 (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝐶Q) → ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
9770, 96sylan 271 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝐶Q) → ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
9897ancoms 259 . . . . . . . 8 ((𝐶Q𝑧N) → ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
99983ad2antl3 1079 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
100 simpl2 919 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → 𝐵Q)
101 ltaddnq 6562 . . . . . . 7 ((([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
10299, 100, 101syl2anc 397 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
103102adantrr 456 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
10489, 90sotri 4747 . . . . 5 ((𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∧ ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵)) → 𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
10595, 103, 104syl2anc 397 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
106 addcomnqg 6536 . . . . . . 7 ((([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q𝐵Q) → (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
10799, 100, 106syl2anc 397 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
108107breq2d 3803 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → (𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
109108adantrr 456 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → (𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
110105, 109mpbid 139 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
111 simpr 107 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → 𝑧N)
112 breq2 3795 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧 +N 2𝑜) → (1𝑜 <N 𝑥 ↔ 1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜)))
113 opeq1 3576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 +N 2𝑜) → ⟨𝑥, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩)
114113eceq1d 6172 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 +N 2𝑜) → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
115114oveq1d 5554 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 +N 2𝑜) → ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶) = ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))
116115oveq2d 5555 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 +N 2𝑜) → (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
117116breq2d 3803 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧 +N 2𝑜) → (𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
118112, 117anbi12d 450 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧 +N 2𝑜) → ((1𝑜 <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) ↔ (1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
119118rspcev 2673 . . . . . 6 (((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N ∧ (1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))) → ∃𝑥N (1𝑜 <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
120119ex 112 . . . . 5 ((𝑧 +N 2𝑜) ∈ N → ((1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥N (1𝑜 <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
121111, 26, 1203syl 17 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → ((1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥N (1𝑜 <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
122121adantrr 456 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ((1𝑜 <N (𝑧 +N 2𝑜) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥N (1𝑜 <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
12332, 110, 122mp2and 417 . 2 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥N (1𝑜 <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
1242, 123rexlimddv 2454 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ∃𝑥N (1𝑜 <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324  wss 2944  c0 3251  cop 3405   class class class wbr 3791  Oncon0 4127  suc csuc 4129  ωcom 4340   × cxp 4370  (class class class)co 5539  1𝑜c1o 6024  2𝑜c2o 6025   +𝑜 coa 6028  [cec 6134   / cqs 6135  Ncnpi 6427   +N cpli 6428   ·N cmi 6429   <N clti 6430   ~Q ceq 6434  Qcnq 6435   +Q cplq 6437   ·Q cmq 6438   <Q cltq 6440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508
This theorem is referenced by:  prarloc  6658
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