Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ringdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringdif 41658
Description: A zero ring is a ring which is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
0ringdif.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringdif.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
0ringdif (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))

Proof of Theorem 0ringdif
StepHypRef Expression
1 eldif 3545 . 2 (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
2 0ringdif.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
32a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘𝑅))
43fveq2d 6088 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (#‘𝐵) = (#‘(Base‘𝑅)))
54eqeq1d 2607 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) = 1 ↔ (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
6 0ringdif.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
72, 60ring 19033 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
87ex 448 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
9 fveq2 6084 . . . . . 6 (𝐵 = { 0 } → (#‘𝐵) = (#‘{ 0 }))
10 fvex 6094 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
116, 10eqeltri 2679 . . . . . . 7 0 ∈ V
12 hashsng 12968 . . . . . . 7 ( 0 ∈ V → (#‘{ 0 }) = 1)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (#‘{ 0 }) = 1
149, 13syl6eq 2655 . . . . 5 (𝐵 = { 0 } → (#‘𝐵) = 1)
158, 14impbid1 213 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = { 0 }))
16 0ringnnzr 19032 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
175, 15, 163bitr3rd 297 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝐵 = { 0 }))
1817pm5.32i 666 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))
191, 18bitri 262 1 (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  cdif 3532  {csn 4120  cfv 5786  1c1 9789  #chash 12930  Basecbs 15637  0gc0g 15865  Ringcrg 18312  NzRingcnzr 19020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-hash 12931  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-plusg 15723  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-nzr 19021
This theorem is referenced by:  0ringbas  41659
  Copyright terms: Public domain W3C validator