MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ringnnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringnnzr 19317
Description: A ring is a zero ring iff it is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
0ringnnzr (𝑅 ∈ Ring → ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))

Proof of Theorem 0ringnnzr
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
21ltnri 10184 . . . . . . 7 ¬ 1 < 1
3 breq2 4689 . . . . . . 7 ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 → (1 < (#‘(Base‘𝑅)) ↔ 1 < 1))
42, 3mtbiri 316 . . . . . 6 ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))
54adantl 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))
65intnand 982 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))))
76ex 449 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))))
8 ianor 508 . . . . 5 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅))))
9 pm2.21 120 . . . . . 6 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
10 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
11 hashxrcl 13186 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝑅) ∈ V → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*
131rexri 10135 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
14 xrlenlt 10141 . . . . . . . . 9 (((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅))))
1512, 13, 14mp2an 708 . . . . . . . 8 ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))
1615bicomi 214 . . . . . . 7 (¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)) ↔ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
17 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
1810a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → 1 ∈ ℕ0)
21 hashbnd 13163 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
2218, 20, 17, 21syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
23 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . 13 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
24 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2510a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (Base‘𝑅) ∈ V)
26 hasheq0 13192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((#‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((#‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2827biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((#‘(Base‘𝑅)) = 0 → (Base‘𝑅) = ∅))
2928necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → (#‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
3029impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (#‘(Base‘𝑅)) ≠ 0)
31 elnnne0 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ ↔ ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
3224, 30, 31sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
3332ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3623, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3722, 36mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
38 nnle1eq1 11086 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ → ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
4017, 39mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) = 1)
4140ex 449 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
42 ringgrp 18598 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4443grpbn0 17498 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4641, 45syl11 33 . . . . . . 7 ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
4716, 46sylbi 207 . . . . . 6 (¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
489, 47jaoi 393 . . . . 5 ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
498, 48sylbi 207 . . . 4 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
5049com12 32 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
517, 50impbid 202 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))))
5243isnzr2hash 19312 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))))
5352bicomi 214 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) ↔ 𝑅 ∈ NzRing)
5453notbii 309 . 2 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
5551, 54syl6bb 276 1 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  #chash 13157  Basecbs 15904  Grpcgrp 17469  Ringcrg 18593  NzRingcnzr 19305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-nzr 19306
This theorem is referenced by:  rng1nnzr  19322  lmod0rng  42193  0ringdif  42195  0ring1eq0  42197  lindszr  42583
  Copyright terms: Public domain W3C validator