Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrng 41724
Description: The ring of integers restricted to the even integers is a (non-unital) ring, the "ring of even integers". Remark: the structure of the complementary subset of the set of integers, the odd integers, is not even a magma, see oddinmgm 41604. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zlidl.u 𝑈 = (LIdeal‘ℤring)
2zrng.r 𝑅 = (ℤrings 𝐸)
Assertion
Ref Expression
2zrng 𝑅 ∈ Rng
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrng
StepHypRef Expression
1 zringring 19583 . 2 ring ∈ Ring
2 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
3 2zlidl.u . . 3 𝑈 = (LIdeal‘ℤring)
42, 32zlidl 41723 . 2 𝐸𝑈
5 2zrng.r . . 3 𝑅 = (ℤrings 𝐸)
63, 5lidlrng 41716 . 2 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐸𝑈) → 𝑅 ∈ Rng)
71, 4, 6mp2an 703 1 𝑅 ∈ Rng
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2893  {crab 2896  cfv 5787  (class class class)co 6524   · cmul 9794  2c2 10914  cz 11207  s cress 15639  Ringcrg 18313  LIdealclidl 18934  ringzring 19580  Rngcrng 41663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-0g 15868  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-subg 17357  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-cring 18316  df-subrg 18544  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-sra 18936  df-rgmod 18937  df-lidl 18938  df-cnfld 19511  df-zring 19581  df-rng0 41664
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator