MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem15 9000
Description: Lemma for ackbij1 9004. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem15 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑐,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐,𝑥,𝑦   𝐵,𝑐,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem15
StepHypRef Expression
1 simpr1 1065 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → 𝑐 ∈ ω)
2 ackbij1lem3 8988 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ω → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4 simpr3 1067 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → ¬ 𝑐𝐵)
5 ackbij1lem1 8986 . . . . . . . 8 𝑐𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵𝑐))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵𝑐))
7 inss2 3812 . . . . . . 7 (𝐵𝑐) ⊆ 𝑐
86, 7syl6eqss 3634 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐)
9 ackbij.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
109ackbij1lem12 8997 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹𝑐))
113, 8, 10syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹𝑐))
129ackbij1lem10 8995 . . . . . . . . 9 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
1312ffvelrni 6314 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹𝑐) ∈ ω)
14 nnon 7018 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐) ∈ ω → (𝐹𝑐) ∈ On)
15 onpsssuc 6966 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐) ∈ On → (𝐹𝑐) ⊊ suc (𝐹𝑐))
163, 13, 14, 154syl 19 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹𝑐) ⊊ suc (𝐹𝑐))
179ackbij1lem14 8999 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ω → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹𝑐))
181, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹𝑐))
1918psseq2d 3678 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → ((𝐹𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}) ↔ (𝐹𝑐) ⊊ suc (𝐹𝑐)))
2016, 19mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}))
21 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
22 inss1 3811 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴
239ackbij1lem11 8996 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
2421, 22, 23sylancl 693 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
25 ssun1 3754 . . . . . . . 8 {𝑐} ⊆ ({𝑐} ∪ (𝐴𝑐))
26 simpr2 1066 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → 𝑐𝐴)
27 ackbij1lem2 8987 . . . . . . . . 9 (𝑐𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴𝑐)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴𝑐)))
2925, 28syl5sseqr 3633 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐))
309ackbij1lem12 8997 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3124, 29, 30syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3220, 31psssstrd 3694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹𝑐) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3311, 32sspsstrd 3693 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3433pssned 3683 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3534necomd 2845 . 2 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
3635neneqd 2795 1 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3553  cin 3554  wss 3555  wpss 3556  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   ciun 4485  cmpt 4673   × cxp 5072  Oncon0 5682  suc csuc 5684  cfv 5847  ωcom 7012  Fincfn 7899  cardccrd 8705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  9001
  Copyright terms: Public domain W3C validator