Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsficl 17370
 Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
acsficl ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Proof of Theorem acsficl
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6379 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
2 elpw2g 4974 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ACS → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋𝑆𝑋))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋𝑆𝑋))
43biimpar 503 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
5 isacs3lem 17365 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
6 acsdrscl.f . . . . . 6 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
76isacs4lem 17367 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
86isacs5lem 17368 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
109simprd 482 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1110adantr 472 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12 fveq2 6350 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑆))
13 pweq 4303 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑆)
1413ineq1d 3954 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
1514imaeq2d 5622 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
1615unieqd 4596 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
1712, 16eqeq12d 2773 . . 3 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ↔ (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
1817rspcva 3445 . 2 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
194, 11, 18syl2anc 696 1 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ∀wral 3048   ∩ cin 3712   ⊆ wss 3713  𝒫 cpw 4300  ∪ cuni 4586  dom cdm 5264   “ cima 5267  ‘cfv 6047  Fincfn 8119  Moorecmre 16442  mrClscmrc 16443  ACScacs 16445  Dirsetcdrs 17126  toInccipo 17350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-fz 12518  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ocomp 16163  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-preset 17127  df-drs 17128  df-poset 17145  df-ipo 17351 This theorem is referenced by:  acsficld  17374
 Copyright terms: Public domain W3C validator