Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs5lem 17097
 Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isacs5lem ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡

Proof of Theorem isacs5lem
StepHypRef Expression
1 unifpw 8220 . . . . . 6 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = 𝑠
21fveq2i 6156 . . . . 5 (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹𝑠)
3 vex 3192 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
4 fpwipodrs 17092 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
53, 4mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
6 inss1 3816 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑠
7 elpwi 4145 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑠𝑋)
8 sspwb 4883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝑋 ↔ 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
97, 8sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
109adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
116, 10syl5ss 3598 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
12 vpwex 4814 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝑠 ∈ V
1312inex1 4764 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ V
1413elpw 4141 . . . . . . . . 9 ((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
1511, 14sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
1615adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
17 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
18 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (toInc‘𝑡) = (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1918eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset))
20 unieq 4415 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
2120fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹 𝑡) = (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
22 imaeq2 5426 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
2322unieqd 4417 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
2421, 23eqeq12d 2636 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡) ↔ (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
2519, 24imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)) ↔ ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))))
2625rspcva 3296 . . . . . . 7 (((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
2716, 17, 26syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
285, 27mpd 15 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
292, 28syl5eqr 2669 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
3029ralrimiva 2961 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
3130ex 450 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
3231imdistani 725 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3189   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559  𝒫 cpw 4135  ∪ cuni 4407   “ cima 5082  ‘cfv 5852  Fincfn 7906  Moorecmre 16170  mrClscmrc 16171  Dirsetcdrs 16855  toInccipo 17079 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-fz 12276  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ocomp 15891  df-preset 16856  df-drs 16857  df-poset 16874  df-ipo 17080 This theorem is referenced by:  acsficl  17099  isacs5  17100  isacs4  17101
 Copyright terms: Public domain W3C validator