MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval4 13134
Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Proof of Theorem bcval4
StepHypRef Expression
1 elfzle1 12382 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2 0re 10078 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
3 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
43zred 11520 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5 lenlt 10154 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
62, 4, 5sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
71, 6mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ 𝐾 < 0)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 0)
9 elfzle2 12383 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾𝑁)
11 nn0re 11339 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
12 lenlt 10154 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
134, 11, 12syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1410, 13mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
15 ioran 510 . . . . . . 7 (¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) ↔ (¬ 𝐾 < 0 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾))
168, 14, 15sylanbrc 699 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾))
1716ex 449 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1817adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1918con2d 129 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
20193impia 1280 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
21 bcval3 13133 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
2220, 21syld3an3 1411 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  cle 10113  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  Ccbc 13129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-xr 10116  df-le 10118  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-bc 13130
This theorem is referenced by:  bc0k  13138  bcn1  13140  bcpasc  13148  hashf1  13279  binomfallfaclem2  14815  ram0  15773  srgbinomlem3  18588  srgbinomlem4  18589  basellem2  24853  bcmono  25047  cusgrsizeindb1  26402  altgsumbcALT  42456
  Copyright terms: Public domain W3C validator