MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval4 12911
Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Proof of Theorem bcval4
StepHypRef Expression
1 elfzle1 12170 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2 0re 9896 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
3 elfzelz 12168 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
43zred 11314 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5 lenlt 9967 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
62, 4, 5sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
71, 6mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ 𝐾 < 0)
87adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 0)
9 elfzle2 12171 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
109adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾𝑁)
11 nn0re 11148 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
12 lenlt 9967 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
134, 11, 12syl2anr 493 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1410, 13mpbid 220 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
15 ioran 509 . . . . . . 7 (¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) ↔ (¬ 𝐾 < 0 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾))
168, 14, 15sylanbrc 694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾))
1716ex 448 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1817adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1918con2d 127 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
20193impia 1252 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
21 bcval3 12910 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
2220, 21syld3an3 1362 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792   < clt 9930  cle 9931  0cn0 11139  cz 11210  ...cfz 12152  Ccbc 12906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-xr 9934  df-le 9936  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-bc 12907
This theorem is referenced by:  bc0k  12915  bcn1  12917  bcpasc  12925  hashf1  13050  binomfallfaclem2  14556  ram0  15510  srgbinomlem3  18311  srgbinomlem4  18312  basellem2  24525  bcmono  24719  cusgrasizeindb1  25766  cusgrsizeindb1  40661  altgsumbcALT  41919
  Copyright terms: Public domain W3C validator