Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccats1pfxeqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1pfxeqrex 40737
Description: There exists a symbol such that its concatenation with the prefix obtained by deleting the last symbol of a nonempty word results in the word itself. Could replace ccats1swrdeqrex 13419. (Contributed by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccats1pfxeqrex ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))
Distinct variable groups:   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠

Proof of Theorem ccats1pfxeqrex
StepHypRef Expression
1 simp2 1060 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
2 lencl 13266 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
323ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
4 nn0p1nn 11279 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
5 nngt0 10996 . . . . . 6 (((#‘𝑊) + 1) ∈ ℕ → 0 < ((#‘𝑊) + 1))
63, 4, 53syl 18 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 0 < ((#‘𝑊) + 1))
7 breq2 4619 . . . . . 6 ((#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1) → (0 < (#‘𝑈) ↔ 0 < ((#‘𝑊) + 1)))
873ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (0 < (#‘𝑈) ↔ 0 < ((#‘𝑊) + 1)))
96, 8mpbird 247 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 0 < (#‘𝑈))
10 hashgt0n0 13099 . . . 4 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑈)) → 𝑈 ≠ ∅)
111, 9, 10syl2anc 692 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
12 lswcl 13297 . . 3 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑈) ∈ 𝑉)
131, 11, 12syl2anc 692 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ( lastS ‘𝑈) ∈ 𝑉)
14 ccats1pfxeq 40736 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)))
15 s1eq 13322 . . . . 5 (𝑠 = ( lastS ‘𝑈) → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)
1615oveq2d 6623 . . . 4 (𝑠 = ( lastS ‘𝑈) → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩))
1716eqeq2d 2631 . . 3 (𝑠 = ( lastS ‘𝑈) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)))
1817rspcev 3295 . 2 ((( lastS ‘𝑈) ∈ 𝑉𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩))
1913, 14, 18syl6an 567 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  c0 3893   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   < clt 10021  cn 10967  0cn0 11239  #chash 13060  Word cword 13233   lastS clsw 13234   ++ cconcat 13235  ⟨“cs1 13236   prefix cpfx 40696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-xnn0 11311  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-hash 13061  df-word 13241  df-lsw 13242  df-concat 13243  df-s1 13244  df-substr 13245  df-pfx 40697
This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1lem  40748
  Copyright terms: Public domain W3C validator