Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk9bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk9bN 37858
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: is this needed? If so, shorten with cdlemk9 37857 if that one is also needed. (Contributed by NM, 28-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk9bN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊) = (𝑅‘(𝐺𝑋)))

Proof of Theorem cdlemk9bN
StepHypRef Expression
1 cdlemk.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemk.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemk.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdlemk8 37856 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
109oveq1d 7160 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊) = (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊))
11 simp1 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
122, 4, 5, 6ltrnel 37157 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
13123adant2r 1171 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
14 eqid 2821 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
152, 8, 14, 4, 5lhpmat 37048 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → ((𝐺𝑃) 𝑊) = (0.‘𝐾))
1611, 13, 15syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) 𝑊) = (0.‘𝐾))
1716oveq1d 7160 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) 𝑊) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
18 simp1l 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp2l 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
20 simp3l 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
212, 4, 5, 6ltrnat 37158 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
2211, 19, 20, 21syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
23 simp2r 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋𝑇)
245, 6ltrncnv 37164 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
2511, 19, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
265, 6ltrnco 37737 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐺𝑇) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
2711, 23, 25, 26syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
281, 5, 6, 7trlcl 37182 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵)
2911, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵)
30 simp1r 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
311, 5lhpbase 37016 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3230, 31syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐵)
332, 5, 6, 7trlle 37202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
3411, 27, 33syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
351, 2, 3, 8, 4atmod4i2 36885 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊) → (((𝐺𝑃) 𝑊) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊))
3618, 22, 29, 32, 34, 35syl131anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) 𝑊) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊))
37 hlol 36379 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
3818, 37syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
391, 3, 14olj02 36244 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
4038, 29, 39syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
415, 6, 7trlcocnv 37738 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑋𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝑋)) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
4211, 19, 23, 41syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝑋)) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
4340, 42eqtr4d 2859 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (𝑅‘(𝐺𝑋)))
4417, 36, 433eqtr3d 2864 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊) = (𝑅‘(𝐺𝑋)))
4510, 44eqtrd 2856 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊) = (𝑅‘(𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  ccnv 5548  ccom 5553  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  meetcmee 17545  0.cp0 17637  OLcol 36192  Atomscatm 36281  HLchlt 36368  LHypclh 37002  LTrncltrn 37119  trLctrl 37176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35971
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-undef 7930  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36194  df-ol 36196  df-oml 36197  df-covers 36284  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369  df-llines 36516  df-lplanes 36517  df-lvols 36518  df-lines 36519  df-psubsp 36521  df-pmap 36522  df-padd 36814  df-lhyp 37006  df-laut 37007  df-ldil 37122  df-ltrn 37123  df-trl 37177
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator