Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj02 34032
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j = (join‘𝐾)
olj0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olj02 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 34019 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 34020 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4 olj0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 olj0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
64, 5op0cl 33990 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 0𝐵)
87adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
9 simpr 477 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 olj0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
114, 10latjcom 16999 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1323 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
134, 10, 5olj01 34031 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2655 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  joincjn 16884  0.cp0 16977  Latclat 16985  OPcops 33978  OLcol 33980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-lat 16986  df-oposet 33982  df-ol 33984
This theorem is referenced by:  atle  34241  athgt  34261  pmapjat1  34658  atmod1i1m  34663  llnexchb2lem  34673  lhp2at0  34837  lhpelim  34842  4atex2-0aOLDN  34883  cdleme2  35034  cdleme15b  35081  cdleme20yOLD  35109  cdleme22cN  35149  cdleme22d  35150  cdleme35d  35259  cdlemeg46frv  35332  cdlemg2fv2  35407  cdlemg2m  35411  cdlemg10bALTN  35443  cdlemh2  35623  cdlemh  35624  cdlemk9  35646  cdlemk9bN  35647  dia2dimlem1  35872
  Copyright terms: Public domain W3C validator