Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk9 34943
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))

Proof of Theorem cdlemk9
StepHypRef Expression
1 cdlemk.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemk.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemk.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdlemk8 34942 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
109oveq1d 6537 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊) = (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊))
11 simp1 1053 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
122, 4, 5, 6ltrnel 34241 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
13123adant2r 1312 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
14 eqid 2604 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
152, 8, 14, 4, 5lhpmat 34132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → ((𝐺𝑃) 𝑊) = (0.‘𝐾))
1611, 13, 15syl2anc 690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) 𝑊) = (0.‘𝐾))
1716oveq1d 6537 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) 𝑊) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
18 simp1l 1077 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp2l 1079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
20 simp3l 1081 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
212, 4, 5, 6ltrnat 34242 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
2211, 19, 20, 21syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
23 simp2r 1080 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋𝑇)
245, 6ltrncnv 34248 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
2511, 19, 24syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
265, 6ltrnco 34823 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐺𝑇) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
2711, 23, 25, 26syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
281, 5, 6, 7trlcl 34267 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵)
2911, 27, 28syl2anc 690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵)
30 simp1r 1078 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
311, 5lhpbase 34100 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3230, 31syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐵)
332, 5, 6, 7trlle 34287 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
3411, 27, 33syl2anc 690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
351, 2, 3, 8, 4atmod4i2 33969 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊) → (((𝐺𝑃) 𝑊) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊))
3618, 22, 29, 32, 34, 35syl131anc 1330 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) 𝑊) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊))
37 hlol 33464 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
3818, 37syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
391, 3, 14olj02 33329 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
4038, 29, 39syl2anc 690 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
4117, 36, 403eqtr3d 2646 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
4210, 41eqtrd 2638 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4572  ccnv 5022  ccom 5027  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  lecple 15716  joincjn 16708  meetcmee 16709  0.cp0 16801  OLcol 33277  Atomscatm 33366  HLchlt 33453  LHypclh 34086  LTrncltrn 34203  trLctrl 34261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-riotaBAD 33055
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-undef 7258  df-map 7718  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-llines 33600  df-lplanes 33601  df-lvols 33602  df-lines 33603  df-psubsp 33605  df-pmap 33606  df-padd 33898  df-lhyp 34090  df-laut 34091  df-ldil 34206  df-ltrn 34207  df-trl 34262
This theorem is referenced by:  cdlemk10  34947
  Copyright terms: Public domain W3C validator