Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlle 34287
Description: The trace of a lattice translation is less than the fiducial co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlle.l = (le‘𝐾)
trlle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlle.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlle.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)

Proof of Theorem trlle
StepHypRef Expression
1 trlle.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 eqid 2604 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 eqid 2604 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 trlle.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
51, 2, 3, 4lhpocnel 34120 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
65adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
7 eqid 2604 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8 eqid 2604 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9 trlle.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 trlle.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
111, 7, 8, 3, 4, 9, 10trlval2 34266 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
126, 11mpd3an3 1416 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
13 hllat 33466 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1413ad2antrr 757 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15 hlop 33465 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1615ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
17 eqid 2604 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1817, 4lhpbase 34100 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1918ad2antlr 758 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2017, 2opoccl 33297 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
2116, 19, 20syl2anc 690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
2217, 4, 9ltrncl 34227 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
2321, 22mpd3an3 1416 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
2417, 7latjcl 16815 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
2514, 21, 23, 24syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
2617, 1, 8latmle2 16841 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) 𝑊)
2714, 25, 19, 26syl3anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) 𝑊)
2812, 27eqbrtrd 4594 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  lecple 15716  occoc 15717  joincjn 16708  meetcmee 16709  Latclat 16809  OPcops 33275  Atomscatm 33366  HLchlt 33453  LHypclh 34086  LTrncltrn 34203  trLctrl 34261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-map 7718  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-lhyp 34090  df-laut 34091  df-ldil 34206  df-ltrn 34207  df-trl 34262
This theorem is referenced by:  trlne  34288  cdlemc5  34298  cdlemg6c  34724  cdlemg10c  34743  cdlemg10  34745  cdlemg17dALTN  34768  cdlemg27a  34796  cdlemg31b0N  34798  cdlemg31b0a  34799  cdlemg27b  34800  cdlemg31c  34803  cdlemg35  34817  cdlemh2  34920  cdlemh  34921  cdlemk3  34937  cdlemk9  34943  cdlemk9bN  34944  cdlemk10  34947  cdlemk12  34954  cdlemk14  34958  cdlemk12u  34976  cdlemkfid1N  35025  cdlemk47  35053  dia1N  35158  dia1dim  35166  dia2dimlem1  35169  dia2dimlem10  35178  dib1dim  35270  cdlemn2a  35301  dih1dimb  35345  dihopelvalcpre  35353  dihwN  35394  dihglblem5apreN  35396  dih1dimatlem  35434
  Copyright terms: Public domain W3C validator