Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cn1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cn1lem 14278
 Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cn1lem.1 𝐹:ℂ⟶ℂ
cn1lem.2 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
Assertion
Ref Expression
cn1lem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cn1lem
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2 simpr 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
3 simpll 789 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 cn1lem.2 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
6 cn1lem.1 . . . . . . . . 9 𝐹:ℂ⟶ℂ
76ffvelrni 6324 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
96ffvelrni 6324 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
103, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
118, 10subcld 10352 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
1211abscld 14125 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ)
132, 3subcld 10352 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
1413abscld 14125 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
15 rpre 11799 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1615ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 lelttr 10088 . . . . 5 (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
195, 18mpand 710 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2019ralrimiva 2962 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
21 breq2 4627 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥))
2221imbi1d 331 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
2322ralbidv 2982 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
2423rspcev 3299 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
251, 20, 24syl2anc 692 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  ∃wrex 2909   class class class wbr 4623  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  ℝcr 9895   < clt 10034   ≤ cle 10035   − cmin 10226  ℝ+crp 11792  abscabs 13924 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926 This theorem is referenced by:  abscn2  14279  cjcn2  14280  recn2  14281  imcn2  14282
 Copyright terms: Public domain W3C validator