MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abscld 14219
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
abscld (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 abscl 14062 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cfv 5926  cc 9972  cr 9973  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14300  elo1mpt  14309  elo1mpt2  14310  elo1d  14311  o1bdd2  14316  o1bddrp  14317  rlimuni  14325  climuni  14327  o1eq  14345  rlimcld2  14353  rlimrege0  14354  climabs0  14360  mulcn2  14370  reccn2  14371  cn1lem  14372  cjcn2  14374  o1add  14388  o1mul  14389  o1sub  14390  rlimo1  14391  o1rlimmul  14393  climsqz  14415  climsqz2  14416  rlimsqzlem  14423  o1le  14427  climbdd  14446  caucvgrlem  14447  caucvgrlem2  14449  iseraltlem3  14458  iseralt  14459  fsumabs  14577  o1fsum  14589  iserabs  14591  cvgcmpce  14594  abscvgcvg  14595  divrcnv  14628  explecnv  14641  geomulcvg  14651  cvgrat  14659  mertenslem1  14660  mertenslem2  14661  fprodabs  14748  efcllem  14852  efaddlem  14867  eftlub  14883  ef01bndlem  14958  sin01bnd  14959  cos01bnd  14960  absef  14971  dvdsabseq  15082  alzdvds  15089  sqnprm  15461  pclem  15590  mul4sqlem  15704  xrsdsreclb  19841  gzrngunitlem  19859  gzrngunit  19860  prmirredlem  19889  nm2dif  22476  blcvx  22648  recld2  22664  addcnlem  22714  cnheiborlem  22800  cnheibor  22801  cnllycmp  22802  cphsqrtcl2  23032  ipcau2  23079  tchcphlem1  23080  ipcnlem2  23089  cncmet  23165  trirn  23229  rrxdstprj1  23238  pjthlem1  23254  volsup2  23419  mbfi1fseqlem6  23532  iblabslem  23639  iblabs  23640  iblabsr  23641  iblmulc2  23642  itgabs  23646  bddmulibl  23650  itgcn  23654  dveflem  23787  dvlip  23801  dvlipcn  23802  c1liplem1  23804  dveq0  23808  dv11cn  23809  lhop1lem  23821  dvfsumabs  23831  dvfsumrlim  23839  dvfsumrlim2  23840  ftc1a  23845  ftc1lem4  23847  plyeq0lem  24011  aalioulem2  24133  aalioulem3  24134  aalioulem4  24135  aalioulem5  24136  aalioulem6  24137  aaliou  24138  geolim3  24139  aaliou2b  24141  aaliou3lem9  24150  ulmbdd  24197  ulmcn  24198  ulmdvlem1  24199  mtest  24203  mtestbdd  24204  iblulm  24206  itgulm  24207  radcnvlem1  24212  radcnvlem2  24213  radcnvlt1  24217  radcnvle  24219  dvradcnv  24220  pserulm  24221  psercnlem2  24223  psercnlem1  24224  psercn  24225  pserdvlem1  24226  pserdvlem2  24227  pserdv  24228  abelthlem2  24231  abelthlem3  24232  abelthlem5  24234  abelthlem7  24237  abelthlem8  24238  tanregt0  24330  efif1olem3  24335  efif1olem4  24336  eff1olem  24339  cosargd  24399  cosarg0d  24400  argrege0  24402  abslogle  24409  logcnlem3  24435  logcnlem4  24436  efopnlem1  24447  logtayl  24451  abscxp2  24484  cxpcn3lem  24533  abscxpbnd  24539  cosangneg2d  24582  lawcoslem1  24590  lawcos  24591  pythag  24592  isosctrlem3  24595  ssscongptld  24597  chordthmlem3  24606  chordthmlem4  24607  chordthmlem5  24608  heron  24610  bndatandm  24701  efrlim  24741  rlimcxp  24745  o1cxp  24746  cxploglim2  24750  divsqrtsumo1  24755  fsumharmonic  24783  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem5  24804  lgambdd  24808  lgamucov  24809  lgamcvg2  24826  ftalem1  24844  ftalem2  24845  ftalem3  24846  ftalem4  24847  ftalem5  24848  ftalem7  24850  logfacbnd3  24993  logfacrlim  24994  logexprlim  24995  dchrabs  25030  lgsdirprm  25101  lgsdilem2  25103  lgsne0  25105  lgsabs1  25106  mul2sq  25189  2sqlem3  25190  2sqblem  25201  vmadivsumb  25217  rplogsumlem2  25219  dchrisumlem2  25224  dchrisumlem3  25225  dchrisum  25226  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem2  25232  dchrvmasumlem3  25233  dchrvmasumiflem1  25235  dchrvmasumiflem2  25236  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0fno1  25245  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2a  25251  dchrisum0lem2  25252  dchrisum0lem3  25253  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  mulog2sumlem1  25268  mulog2sumlem2  25269  2vmadivsumlem  25274  log2sumbnd  25278  selberglem2  25280  selbergb  25283  selberg2b  25286  chpdifbndlem1  25287  selberg3lem1  25291  selberg3lem2  25292  selberg4lem1  25294  pntrsumo1  25299  pntrsumbnd  25300  pntrsumbnd2  25301  pntrlog2bndlem1  25311  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntpbnd1a  25319  pntpbnd2  25321  pntibndlem2  25325  pntlemn  25334  pntlemj  25337  pntlemf  25339  pntlemo  25341  pntlem3  25343  pntleml  25345  smcnlem  27680  nmoub3i  27756  isblo3i  27784  htthlem  27902  bcs2  28167  pjhthlem1  28378  nmfnsetre  28864  nmfnleub2  28913  nmfnge0  28914  nmbdfnlbi  29036  nmcfnexi  29038  nmcfnlbi  29039  lnfnconi  29042  cnlnadjlem2  29055  cnlnadjlem7  29060  nmopcoadji  29088  leopnmid  29125  bhmafibid1  29772  sqsscirc2  30083  subfaclim  31296  subfacval3  31297  sinccvglem  31692  dnicld1  32587  dnibndlem2  32594  dnibndlem6  32598  dnibndlem9  32601  dnibndlem12  32604  dnicn  32607  knoppcnlem4  32611  knoppcnlem6  32613  unblimceq0lem  32622  unblimceq0  32623  unbdqndv2lem1  32625  unbdqndv2lem2  32626  knoppndvlem11  32638  knoppndvlem12  32639  knoppndvlem14  32641  knoppndvlem15  32642  knoppndvlem17  32644  knoppndvlem18  32645  knoppndvlem20  32647  knoppndvlem21  32648  poimirlem29  33568  poimir  33572  iblabsnclem  33603  iblabsnc  33604  iblmulc2nc  33605  itgabsnc  33609  bddiblnc  33610  ftc1cnnclem  33613  ftc1anclem1  33615  ftc1anclem2  33616  ftc1anclem4  33618  ftc1anclem5  33619  ftc1anclem6  33620  ftc1anclem7  33621  ftc1anclem8  33622  ftc1anc  33623  ftc2nc  33624  dvasin  33626  areacirclem1  33630  areacirclem2  33631  areacirclem4  33633  areacirclem5  33634  areacirc  33635  geomcau  33685  cntotbnd  33725  rrndstprj1  33759  rrndstprj2  33760  ismrer1  33767  rencldnfilem  37701  irrapxlem2  37704  irrapxlem4  37706  irrapxlem5  37707  pellexlem2  37711  pellexlem6  37715  pell14qrgt0  37740  congabseq  37858  acongeq  37867  modabsdifz  37870  jm2.26lem3  37885  extoimad  38781  imo72b2lem0  38782  imo72b2  38792  dvgrat  38828  cvgdvgrat  38829  radcnvrat  38830  dvconstbi  38850  binomcxplemnotnn0  38872  dstregt0  39807  absnpncan2d  39830  absnpncan3d  39835  abslt2sqd  39889  rexabslelem  39958  fprodabs2  40145  mullimc  40166  mullimcf  40173  limcrecl  40179  lptre2pt  40190  limcleqr  40194  addlimc  40198  0ellimcdiv  40199  limclner  40201  climleltrp  40226  climisp  40296  climxrrelem  40299  cnrefiisplem  40373  climxlim2lem  40389  cncficcgt0  40419  dvdivbd  40456  dvbdfbdioolem1  40461  dvbdfbdioolem2  40462  dvbdfbdioo  40463  ioodvbdlimc1lem1  40464  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  stoweid  40598  fourierdlem30  40672  fourierdlem39  40681  fourierdlem42  40684  fourierdlem47  40688  fourierdlem68  40709  fourierdlem70  40711  fourierdlem71  40712  fourierdlem73  40714  fourierdlem77  40718  fourierdlem80  40721  fourierdlem83  40724  fourierdlem87  40728  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  etransclem23  40792  etransclem48  40817  rrndistlt  40828  ioorrnopnlem  40842  sge0isum  40962  hoicvr  41083  smflimlem4  41303  smfmullem1  41319  smfmullem2  41320  smfmullem3  41321
  Copyright terms: Public domain W3C validator