Theorem abscld 14798

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 14640	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  ℂcc 10537  ℝcr 10538  abscabs 14595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  14827  lo1bddrp  14884  elo1mpt  14893  elo1mpt2  14894  elo1d  14895  o1bdd2  14900  o1bddrp  14901  rlimuni  14909  climuni  14911  o1eq  14929  rlimcld2  14937  rlimrege0  14938  climabs0  14944  mulcn2  14954  reccn2  14955  cn1lem  14956  cjcn2  14958  o1add  14972  o1mul  14973  o1sub  14974  rlimo1  14975  o1rlimmul  14977  climsqz  14999  climsqz2  15000  rlimsqzlem  15007  o1le  15011  climbdd  15030  caucvgrlem  15031  caucvgrlem2  15033  iseraltlem3  15042  iseralt  15043  fsumabs  15158  o1fsum  15170  iserabs  15172  cvgcmpce  15175  abscvgcvg  15176  divrcnv  15209  explecnv  15222  geomulcvg  15234  cvgrat  15241  mertenslem1  15242  mertenslem2  15243  fprodabs  15330  efcllem  15433  efaddlem  15448  eftlub  15464  ef01bndlem  15539  sin01bnd  15540  cos01bnd  15541  absef  15552  dvdsabseq  15665  alzdvds  15672  sqnprm  16048  pclem  16177  mul4sqlem  16291  xrsdsreclb  20594  gzrngunitlem  20612  gzrngunit  20613  prmirredlem  20642  nm2dif  23236  blcvx  23408  recld2  23424  addcnlem  23474  cnheiborlem  23560  cnheibor  23561  cnllycmp  23562  cphsqrtcl2  23792  ipcau2  23839  tcphcphlem1  23840  ipcnlem2  23849  cncmet  23927  trirn  24005  rrxdstprj1  24014  pjthlem1  24042  volsup2  24208  mbfi1fseqlem6  24323  iblabslem  24430  iblabs  24431  iblabsr  24432  iblmulc2  24433  itgabs  24437  bddmulibl  24441  itgcn  24445  dveflem  24578  dvlip  24592  dvlipcn  24593  c1liplem1  24595  dveq0  24599  dv11cn  24600  lhop1lem  24612  dvfsumabs  24622  dvfsumrlim  24630  dvfsumrlim2  24631  ftc1a  24636  ftc1lem4  24638  plyeq0lem  24802  aalioulem2  24924  aalioulem3  24925  aalioulem4  24926  aalioulem5  24927  aalioulem6  24928  aaliou  24929  geolim3  24930  aaliou2b  24932  aaliou3lem9  24941  ulmbdd  24988  ulmcn  24989  ulmdvlem1  24990  mtest  24994  mtestbdd  24995  iblulm  24997  itgulm  24998  radcnvlem1  25003  radcnvlem2  25004  radcnvlt1  25008  radcnvle  25010  dvradcnv  25011  pserulm  25012  psercnlem2  25014  psercnlem1  25015  psercn  25016  pserdvlem1  25017  pserdvlem2  25018  pserdv  25019  abelthlem2  25022  abelthlem3  25023  abelthlem5  25025  abelthlem7  25028  abelthlem8  25029  tanregt0  25125  efif1olem3  25130  efif1olem4  25131  eff1olem  25134  cosargd  25193  cosarg0d  25194  argregt0  25195  argrege0  25196  abslogle  25203  logcnlem3  25229  logcnlem4  25230  efopnlem1  25241  logtayl  25245  abscxp2  25278  cxpcn3lem  25330  abscxpbnd  25336  cosangneg2d  25387  lawcoslem1  25395  lawcos  25396  pythag  25397  isosctrlem3  25400  ssscongptld  25402  chordthmlem3  25414  chordthmlem4  25415  chordthmlem5  25416  heron  25418  bndatandm  25509  efrlim  25549  rlimcxp  25553  o1cxp  25554  cxploglim2  25558  divsqrtsumo1  25563  fsumharmonic  25591  lgamgulmlem2  25609  lgamgulmlem3  25610  lgamgulmlem5  25612  lgambdd  25616  lgamucov  25617  lgamcvg2  25634  ftalem1  25652  ftalem2  25653  ftalem3  25654  ftalem4  25655  ftalem5  25656  ftalem7  25658  logfacbnd3  25801  logfacrlim  25802  logexprlim  25803  dchrabs  25838  lgsdirprm  25909  lgsdilem2  25911  lgsne0  25913  lgsabs1  25914  mul2sq  25997  2sqlem3  25998  2sqblem  26009  vmadivsumb  26061  rplogsumlem2  26063  dchrisumlem2  26068  dchrisumlem3  26069  dchrisum  26070  dchrmusum2  26072  dchrvmasumlem2  26076  dchrvmasumlem3  26077  dchrvmasumiflem1  26079  dchrvmasumiflem2  26080  dchrisum0flblem1  26086  dchrisum0fno1  26089  dchrisum0lem1b  26093  dchrisum0lem1  26094  dchrisum0lem2a  26095  dchrisum0lem2  26096  dchrisum0lem3  26097  mudivsum  26108  mulogsumlem  26109  mulog2sumlem1  26112  mulog2sumlem2  26113  2vmadivsumlem  26118  log2sumbnd  26122  selberglem2  26124  selbergb  26127  selberg2b  26130  chpdifbndlem1  26131  selberg3lem1  26135  selberg3lem2  26136  selberg4lem1  26138  pntrsumo1  26143  pntrsumbnd  26144  pntrsumbnd2  26145  pntrlog2bndlem1  26155  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bndlem3  26157  pntrlog2bndlem4  26158  pntrlog2bndlem5  26159  pntrlog2bndlem6  26161  pntrlog2bnd  26162  pntpbnd1a  26163  pntpbnd2  26165  pntibndlem2  26169  pntlemn  26178  pntlemj  26181  pntlemf  26183  pntlemo  26185  pntlem3  26187  pntleml  26189  smcnlem  28476  nmoub3i  28552  isblo3i  28580  htthlem  28696  bcs2  28961  pjhthlem1  29170  nmfnsetre  29656  nmfnleub2  29705  nmfnge0  29706  nmbdfnlbi  29828  nmcfnexi  29830  nmcfnlbi  29831  lnfnconi  29834  cnlnadjlem2  29847  cnlnadjlem7  29852  nmopcoadji  29880  leopnmid  29917  sqsscirc2  31154  subfaclim  32437  subfacval3  32438  sinccvglem  32917  dnicld1  33813  dnibndlem2  33820  dnibndlem6  33824  dnibndlem9  33827  dnibndlem12  33830  dnicn  33833  knoppcnlem4  33837  knoppcnlem6  33839  unblimceq0lem  33847  unblimceq0  33848  unbdqndv2lem1  33850  unbdqndv2lem2  33851  knoppndvlem11  33863  knoppndvlem12  33864  knoppndvlem14  33866  knoppndvlem15  33867  knoppndvlem17  33869  knoppndvlem18  33870  knoppndvlem20  33872  knoppndvlem21  33873  poimirlem29  34923  poimir  34927  iblabsnclem  34957  iblabsnc  34958  iblmulc2nc  34959  itgabsnc  34963  bddiblnc  34964  ftc1cnnclem  34967  ftc1anclem1  34969  ftc1anclem2  34970  ftc1anclem4  34972  ftc1anclem5  34973  ftc1anclem6  34974  ftc1anclem7  34975  ftc1anclem8  34976  ftc1anc  34977  ftc2nc  34978  dvasin  34980  areacirclem1  34984  areacirclem2  34985  areacirclem4  34987  areacirclem5  34988  areacirc  34989  geomcau  35036  cntotbnd  35076  rrndstprj1  35110  rrndstprj2  35111  ismrer1  35118  dffltz  39278  rencldnfilem  39424  irrapxlem2  39427  irrapxlem4  39429  irrapxlem5  39430  pellexlem2  39434  pellexlem6  39438  pell14qrgt0  39463  congabseq  39578  acongeq  39587  modabsdifz  39590  jm2.26lem3  39605  extoimad  40522  imo72b2lem0  40523  imo72b2  40532  dvgrat  40651  cvgdvgrat  40652  radcnvrat  40653  dvconstbi  40673  binomcxplemnotnn0  40695  dstregt0  41554  absnpncan2d  41576  absnpncan3d  41581  abslt2sqd  41635  rexabslelem  41699  fprodabs2  41883  mullimc  41904  mullimcf  41911  limcrecl  41917  lptre2pt  41928  limcleqr  41932  addlimc  41936  0ellimcdiv  41937  limclner  41939  climleltrp  41964  climisp  42034  climxrrelem  42037  cnrefiisplem  42117  climxlim2lem  42133  cncficcgt0  42178  dvdivbd  42215  dvbdfbdioolem1  42220  dvbdfbdioolem2  42221  dvbdfbdioo  42222  ioodvbdlimc1lem1  42223  ioodvbdlimc1lem2  42224  ioodvbdlimc2lem  42226  stoweid  42355  fourierdlem30  42429  fourierdlem39  42438  fourierdlem42  42441  fourierdlem47  42445  fourierdlem68  42466  fourierdlem70  42468  fourierdlem71  42469  fourierdlem73  42471  fourierdlem77  42475  fourierdlem80  42478  fourierdlem83  42481  fourierdlem87  42485  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  etransclem23  42549  etransclem48  42574  rrndistlt  42582  ioorrnopnlem  42596  sge0isum  42716  hoicvr  42837  smflimlem4  43057  smfmullem1  43073  smfmullem2  43074  smfmullem3  43075  itsclc0yqsol  44758