Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corclrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem corclrcl 37477
 Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corclrcl (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 37446 . 2 r* = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎𝑟𝑖))
2 dfrcl4 37446 . 2 r* = (𝑏 ∈ V ↦ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏𝑟𝑗))
3 dfrcl4 37446 . 2 r* = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐𝑟𝑘))
4 prex 4870 . 2 {0, 1} ∈ V
5 unidm 3734 . . 3 ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
65eqcomi 2630 . 2 {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟𝑗))
87cbviunv 4525 . . . 4 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
9 1ex 9979 . . . . . . 7 1 ∈ V
10 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1))
119, 10iunxsn 4569 . . . . . 6 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12 ovex 6632 . . . . . . . 8 (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
134, 12iunex 7093 . . . . . . 7 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
14 relexp1g 13700 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1611, 15eqtri 2643 . . . . 5 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1716eqcomi 2630 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
188, 17eqtri 2643 . . 3 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19 snsspr2 4314 . . . 4 {1} ⊆ {0, 1}
20 iunss1 4498 . . . 4 ({1} ⊆ {0, 1} → 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
2119, 20ax-mp 5 . . 3 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
2218, 21eqsstri 3614 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23 c0ex 9978 . . . . . 6 0 ∈ V
2423prid1 4267 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
25 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟0))
2625ssiun2s 4530 . . . . 5 (0 ∈ {0, 1} → (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
2724, 26ax-mp 5 . . . 4 (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
28 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑑𝑟𝑗) = (𝑑𝑟𝑘))
2928cbviunv 4525 . . . . 5 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
3029eqimssi 3638 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
31 unss12 3763 . . . 4 (((𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∧ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)) → ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)))
3227, 30, 31mp2an 707 . . 3 ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
33 df-pr 4151 . . . . 5 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34 iuneq1 4500 . . . . 5 ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36 iunxun 4571 . . . . 5 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0))
3823, 37iunxsn 4569 . . . . . . 7 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39 vex 3189 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ V
40 0nn0 11251 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
41 1nn0 11252 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
42 prssi 4321 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
4340, 41, 42mp2an 707 . . . . . . . 8 {0, 1} ⊆ ℕ0
44 inidm 3800 . . . . . . . . . 10 ({0, 1} ∩ {0, 1}) = {0, 1}
4524, 44eleqtrri 2697 . . . . . . . . 9 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
4645ne0ii 3899 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
47 iunrelexp0 37472 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0))
4839, 43, 46, 47mp3an 1421 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0)
4938, 48eqtri 2643 . . . . . 6 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑𝑟0)
5049, 16uneq12i 3743 . . . . 5 ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5136, 50eqtri 2643 . . . 4 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5235, 51eqtri 2643 . . 3 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
53 iunxun 4571 . . 3 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘) = ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
5432, 52, 533sstr4i 3623 . 2 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘)
551, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 54comptiunov2i 37476 1 (r* ∘ r*) = r*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186   ∪ cun 3553   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  {csn 4148  {cpr 4150  ∪ ciun 4485   ∘ ccom 5078  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881  ℕ0cn0 11236  ↑𝑟crelexp 13694  r*crcl 37442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-relexp 13695  df-rcl 37443 This theorem is referenced by:  corclrtrcl  37511  cortrclrcl  37513
 Copyright terms: Public domain W3C validator