Theorem dpjlem 19173

Description: Lemma for theorems about direct product projection. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dpjlem	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem dpjlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3	1, 2	dprdf2 19129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4	3	ffnd 6515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn 𝐼)
5		dpjlem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6		fnressn 6920	. . . 4 ⊢ ((𝑆 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑆 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩})
7	4, 5, 6	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩})
8	7	oveq2d 7172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}))
9	3, 5	ffvelrnd 6852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		dprdsn 19158	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋)))
11	5, 9, 10	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋)))
12	11	simprd 498	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋))
13	8, 12	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066  dom cdm 5555   ↾ cres 5557   Fn wfn 6350  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  SubGrpcsubg 18273   DProd cdprd 19115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-cmn 18908  df-dprd 19117

This theorem is referenced by:  dpjcntz  19174  dpjdisj  19175  dpjlsm  19176  ablfac1eulem  19194  ablfac1eu  19195