Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvaddcomN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhvaddcomN 35900
Description: Commutativity of vector sum. (Contributed by NM, 26-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvaddcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvaddcl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvaddcl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvaddcl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvaddcl.d 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvhvaddcl.p = (+g𝐷)
dvhvaddcl.a + = (+g𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvhvaddcomN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))

Proof of Theorem dvhvaddcomN
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 xp1st 7150 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
32ad2antrl 763 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
4 xp1st 7150 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st𝐺) ∈ 𝑇)
54ad2antll 764 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st𝐺) ∈ 𝑇)
6 dvhvaddcl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 dvhvaddcl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
86, 7ltrncom 35541 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (1st𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (1st𝐺) ∈ 𝑇) → ((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)) = ((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)))
91, 3, 5, 8syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)) = ((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)))
10 xp2nd 7151 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd𝐹) ∈ 𝐸)
11 xp2nd 7151 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd𝐺) ∈ 𝐸)
1210, 11anim12i 589 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → ((2nd𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd𝐺) ∈ 𝐸))
13 dvhvaddcl.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐)))) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))
156, 7, 13, 14tendoplcom 35585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (2nd𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd𝐺) ∈ 𝐸) → ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
16153expb 1263 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((2nd𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd𝐺) ∈ 𝐸)) → ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
1712, 16sylan2 491 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
18 dvhvaddcl.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
19 dvhvaddcl.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
20 dvhvaddcl.p . . . . . . 7 = (+g𝐷)
216, 7, 13, 18, 19, 14, 20dvhfplusr 35888 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐)))))
2221adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐)))))
2322oveqd 6627 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐹) (2nd𝐺)) = ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)))
2422oveqd 6627 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐺) (2nd𝐹)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
2517, 23, 243eqtr4d 2665 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐹) (2nd𝐺)) = ((2nd𝐺) (2nd𝐹)))
269, 25opeq12d 4383 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ⟨((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)), ((2nd𝐹) (2nd𝐺))⟩ = ⟨((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)), ((2nd𝐺) (2nd𝐹))⟩)
27 dvhvaddcl.a . . 3 + = (+g𝑈)
286, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 35896 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = ⟨((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)), ((2nd𝐹) (2nd𝐺))⟩)
296, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 35896 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)), ((2nd𝐺) (2nd𝐹))⟩)
3029ancom2s 843 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)), ((2nd𝐺) (2nd𝐹))⟩)
3126, 28, 303eqtr4d 2665 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4159  cmpt 4678   × cxp 5077  ccom 5083  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  1st c1st 7118  2nd c2nd 7119  +gcplusg 15873  Scalarcsca 15876  HLchlt 34152  LHypclh 34785  LTrncltrn 34902  TEndoctendo 35555  DVecHcdvh 35882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-riotaBAD 33754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-clat 17040  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300  df-lvols 34301  df-lines 34302  df-psubsp 34304  df-pmap 34305  df-padd 34597  df-lhyp 34789  df-laut 34790  df-ldil 34905  df-ltrn 34906  df-trl 34961  df-tendo 35558  df-edring 35560  df-dvech 35883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator