MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgi1 18055
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
Assertion
Ref Expression
efgi1 ((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝐽𝐼) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi1
StepHypRef Expression
1 1on 7512 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
21elexi 3199 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
32prid2 4268 . . . . 5 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
4 df2o3 7518 . . . . 5 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
53, 4eleqtrri 2697 . . . 4 1𝑜 ∈ 2𝑜
6 efgval.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
7 efgval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
86, 7efgi 18053 . . . 4 (((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))) ∧ (𝐽𝐼 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜)) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
95, 8mpanr2 719 . . 3 (((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))) ∧ 𝐽𝐼) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
1093impa 1256 . 2 ((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝐽𝐼) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
11 tru 1484 . . . 4
12 eqidd 2622 . . . . 5 (⊤ → ⟨𝐽, 1𝑜⟩ = ⟨𝐽, 1𝑜⟩)
13 difid 3922 . . . . . . 7 (1𝑜 ∖ 1𝑜) = ∅
1413opeq2i 4374 . . . . . 6 𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩
1514a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
1612, 15s2eqd 13545 . . . 4 (⊤ → ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩)
17 oteq3 4381 . . . 4 (⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
1811, 16, 17mp2b 10 . . 3 𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩
1918oveq2i 6615 . 2 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
2010, 19syl6breq 4654 1 ((𝐴𝑊𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝐽𝐼) → 𝐴 (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  cdif 3552  c0 3891  {cpr 4150  cop 4154  cotp 4156   class class class wbr 4613   I cid 4984   × cxp 5072  Oncon0 5682  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  0cc0 9880  ...cfz 12268  #chash 13057  Word cword 13230   splice csplice 13235  ⟨“cs2 13523   ~FG cefg 18040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-s2 13530  df-efg 18043
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator