MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elprchashprn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elprchashprn2 13222
Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elprchashprn2 𝑀 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem elprchashprn2
StepHypRef Expression
1 prprc1 4332 . 2 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
2 hashsng 13197 . . . 4 (𝑁 ∈ V → (#‘{𝑁}) = 1)
3 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘{𝑁}))
43eqcomd 2657 . . . . . . . 8 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (#‘{𝑁}) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
54eqeq1d 2653 . . . . . . 7 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ((#‘{𝑁}) = 1 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1))
65biimpa 500 . . . . . 6 (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (#‘{𝑁}) = 1) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
7 id 22 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
8 1ne2 11278 . . . . . . . . 9 1 ≠ 2
98a1i 11 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → 1 ≠ 2)
107, 9eqnetrd 2890 . . . . . . 7 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (#‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
1110neneqd 2828 . . . . . 6 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
126, 11syl 17 . . . . 5 (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (#‘{𝑁}) = 1) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
1312expcom 450 . . . 4 ((#‘{𝑁}) = 1 → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
142, 13syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
15 snprc 4285 . . . 4 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
16 eqeq2 2662 . . . . . . 7 ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅))
1716biimpa 500 . . . . . 6 (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
18 hash0 13196 . . . . . 6 (#‘∅) = 0
19 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘∅))
2019eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘∅) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
2120eqeq1d 2653 . . . . . . . 8 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → ((#‘∅) = 0 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0))
2221biimpa 500 . . . . . . 7 (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (#‘∅) = 0) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
23 id 22 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
24 0ne2 11277 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → 0 ≠ 2)
2623, 25eqnetrd 2890 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (#‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
2726neneqd 2828 . . . . . . 7 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
2822, 27syl 17 . . . . . 6 (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (#‘∅) = 0) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
2917, 18, 28sylancl 695 . . . . 5 (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
3029ex 449 . . . 4 ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
3115, 30sylbi 207 . . 3 𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
3214, 31pm2.61i 176 . 2 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
331, 32syl 17 1 𝑀 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  cfv 5926  0cc0 9974  1c1 9975  2c2 11108  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  hashprb  13223
  Copyright terms: Public domain W3C validator