Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem4 27295
 Description: Lemma 4 for frgrwopreg 27303. In a friendship graph each vertex with degree 𝐾 is connected with any vertex with degree other than 𝐾. This corresponds to statement 4 in [Huneke] p. 2: "By the first claim, every vertex in A is adjacent to every vertex in B.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem4 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝐺,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem4
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 elrabi 3391 . . . . . 6 (𝑎 ∈ {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾} → 𝑎𝑉)
3 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
42, 3eleq2s 2748 . . . . 5 (𝑎𝐴𝑎𝑉)
5 eldifi 3765 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑉𝐴) → 𝑏𝑉)
6 frgrwopreg.b . . . . . 6 𝐵 = (𝑉𝐴)
75, 6eleq2s 2748 . . . . 5 (𝑏𝐵𝑏𝑉)
84, 7anim12i 589 . . . 4 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
98adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
10 frgrwopreg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11 frgrwopreg.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
1210, 11, 3, 6frgrwopreglem3 27294 . . . 4 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏))
1312adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏))
14 frgrwopreg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1510, 11, 14frgrwopreglem4a 27290 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
161, 9, 13, 15syl3anc 1366 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
1716ralrimivva 3000 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945   ∖ cdif 3604  {cpr 4212  ‘cfv 5926  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  VtxDegcvtxdg 26417   FriendGraph cfrgr 27236 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-ushgr 25999  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-nbgr 26270  df-vtxdg 26418  df-frgr 27237 This theorem is referenced by:  frgrwopregasn  27296  frgrwopregbsn  27297  frgrwopreglem5ALT  27302
 Copyright terms: Public domain W3C validator