MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzel2 12282
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzel2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 12281 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 eluzelz 11641 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269
This theorem is referenced by:  elfz1eq  12294  fzdisj  12310  fzssp1  12326  fzp1disj  12341  fzrev2i  12347  fzrev3  12348  fznuz  12363  fznn0sub2  12387  elfzmlbm  12390  difelfznle  12394  nn0disj  12396  fz1fzo0m1  12456  fzofzp1b  12507  bcm1k  13042  bcp1nk  13044  swrdccatin12lem2  13426  spllen  13442  fsum0diag2  14443  fallfacval3  14668  fallfacval4  14699  psgnunilem2  17836  pntpbnd1  25175  crctcshwlkn0  26582  elfzfzo  38949  sumnnodd  39263  dvnmul  39461  dvnprodlem1  39464  dvnprodlem2  39465  stoweidlem34  39555  fourierdlem11  39639  fourierdlem12  39640  fourierdlem15  39643  fourierdlem41  39669  fourierdlem48  39675  fourierdlem49  39676  fourierdlem54  39681  fourierdlem79  39706  fourierdlem102  39729  fourierdlem114  39741  etransclem23  39778  etransclem35  39790  iundjiun  39981  2elfz2melfz  40622  elfzelfzlble  40625  iccpartiltu  40653  iccpartgt  40658  pfxccatin12lem2  40720
  Copyright terms: Public domain W3C validator