Theorem elfzel2 12907

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 12906	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12254	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-neg 10873  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894

This theorem is referenced by:  elfz1eq  12919  fzdisj  12935  fzssp1  12951  fzp1disj  12967  fzrev2i  12973  fzrev3  12974  elfz1b  12977  fznuz  12990  fznn0sub2  13015  elfzmlbm  13018  difelfznle  13022  nn0disj  13024  fz1fzo0m1  13086  fzofzp1b  13136  bcm1k  13676  bcp1nk  13678  pfxccatin12lem2  14093  spllen  14116  fsum0diag2  15138  fallfacval3  15366  fallfacval4  15397  psgnunilem2  18623  pntpbnd1  26162  crctcshwlkn0  27599  fzm1ne1  30512  swrdrevpfx  32363  swrdwlk  32373  elfzfzo  41562  sumnnodd  41931  dvnmul  42248  dvnprodlem1  42251  dvnprodlem2  42252  stoweidlem34  42339  fourierdlem11  42423  fourierdlem12  42424  fourierdlem15  42427  fourierdlem41  42453  fourierdlem48  42459  fourierdlem49  42460  fourierdlem54  42465  fourierdlem79  42490  fourierdlem102  42513  fourierdlem114  42525  etransclem23  42562  etransclem35  42574  iundjiun  42762  2elfz2melfz  43538  elfzelfzlble  43541  iccpartiltu  43602  iccpartgt  43607