MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gaid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gaid2 17956
Description: A group operation is a left group action of the group on itself. (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gaid2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gaid2.2 + = (+g𝐺)
gaid2.3 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))
Assertion
Ref Expression
gaid2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gaid2
StepHypRef Expression
1 gaid2.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
21subgid 17817 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 gaid2.2 . . . 4 + = (+g𝐺)
4 eqid 2760 . . . 4 (𝐺s 𝑋) = (𝐺s 𝑋)
5 gaid2.3 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))
61, 3, 4, 5subgga 17953 . . 3 (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ ((𝐺s 𝑋) GrpAct 𝑋))
72, 6syl 17 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ ((𝐺s 𝑋) GrpAct 𝑋))
81ressid 16157 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺s 𝑋) = 𝐺)
98oveq1d 6829 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺s 𝑋) GrpAct 𝑋) = (𝐺 GrpAct 𝑋))
107, 9eleqtrd 2841 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  Basecbs 16079  s cress 16080  +gcplusg 16163  Grpcgrp 17643  SubGrpcsubg 17809   GrpAct cga 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-subg 17812  df-ga 17943
This theorem is referenced by:  cayleylem1  18052
  Copyright terms: Public domain W3C validator