Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfidmsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfidmsub 18290
 Description: The difference of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmsub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsub.s = (-g𝐺)
gsummptfidmsub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gsummptfidmsub.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsub.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptfidmsub.d ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
gsummptfidmsub.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
gsummptfidmsub.h 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsummptfidmsub (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmsub
StepHypRef Expression
1 gsummptfidmsub.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsummptfidmsub.s . 2 = (-g𝐺)
4 gsummptfidmsub.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 gsummptfidmsub.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 gsummptfidmsub.c . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
7 gsummptfidmsub.d . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
8 gsummptfidmsub.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
98a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
10 gsummptfidmsub.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
1110a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
12 fvexd 6170 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
138, 5, 6, 12fsuppmptdm 8246 . 2 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝐺))
1410, 5, 7, 12fsuppmptdm 8246 . 2 (𝜑𝐻 finSupp (0g𝐺))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14gsummptfssub 18289 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   ↦ cmpt 4683  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  Basecbs 15800  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  -gcsg 17364  Abelcabl 18134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136 This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemF  20621
 Copyright terms: Public domain W3C validator