MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsumlemF Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsumlemF 20609
Description: Lemma F for cpmadugsum 20611. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmadugsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmadugsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmadugsum.r × = (.r𝑌)
cpmadugsum.1 1 = (1r𝑌)
cpmadugsum.g + = (+g𝑌)
cpmadugsum.s = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumlemF (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏   𝑖,𝑠   𝑇,𝑖   ,𝑖   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑠,𝑏)   · (𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsumlemF
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11250 . . . 4 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
2 cpmadugsum.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 cpmadugsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 cpmadugsum.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 cpmadugsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 cpmadugsum.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7 cpmadugsum.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
8 cpmadugsum.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
9 cpmadugsum.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
10 cpmadugsum.r . . . . 5 × = (.r𝑌)
11 cpmadugsum.1 . . . . 5 1 = (1r𝑌)
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemB 20607 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
131, 12sylanr1 683 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemC 20608 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
151, 14sylanr1 683 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
1613, 15oveq12d 6628 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
17 nncn 10979 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
18 npcan1 10406 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
1918eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 = ((𝑠 − 1) + 1))
2017, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 = ((𝑠 − 1) + 1))
2120oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℕ → (0...𝑠) = (0...((𝑠 − 1) + 1)))
2221mpteq1d 4703 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))
2322oveq2d 6626 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
2423ad2antrl 763 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
25 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26 cpmadugsum.g . . . . 5 + = (+g𝑌)
27 crngring 18486 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2827anim2i 592 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
29283adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
304, 5pmatring 20426 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
32 ringcmn 18509 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
3433adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ CMnd)
35 nnm1nn0 11285 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
3635ad2antrl 763 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
37 simpll1 1098 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ Fin)
38273ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3938adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
4039adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
41 elmapi 7830 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
4221feq2d 5993 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵))
4341, 42syl5ibcom 235 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) → (𝑠 ∈ ℕ → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵))
4443impcom 446 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵)
4544adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵)
4645ffvelrnda 6320 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
47 elfznn0 12381 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4847adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
49 1nn0 11259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
5148, 50nn0addcld 11306 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
522, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 20473 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏𝑖) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
5337, 40, 46, 51, 52syl22anc 1324 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
5425, 26, 34, 36, 53gsummptfzsplit 18260 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
55 ringmnd 18484 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
5631, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Mnd)
5756adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Mnd)
58 ovex 6638 . . . . . . 7 ((𝑠 − 1) + 1) ∈ V
5958a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑠 − 1) + 1) ∈ V)
60 simpl1 1062 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑁 ∈ Fin)
61 nn0fz0 12385 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ (0...𝑠))
621, 61sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ (0...𝑠))
63 ffvelrn 6318 . . . . . . . . . 10 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏𝑠) ∈ 𝐵)
6441, 62, 63syl2anr 495 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (𝑏𝑠) ∈ 𝐵)
651adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
6649a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 1 ∈ ℕ0)
6765, 66nn0addcld 11306 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
6864, 67jca 554 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → ((𝑏𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0))
6968adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑏𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0))
702, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 20473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)) → (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌))
7160, 39, 69, 70syl21anc 1322 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌))
72 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑖 + 1) = (((𝑠 − 1) + 1) + 1))
7372oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → ((𝑖 + 1) 𝑋) = ((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋))
74 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑏𝑖) = (𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))
7574fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1))))
7673, 75oveq12d 6628 . . . . . . 7 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) = (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))))
7717, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
7877oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 − 1) + 1) + 1) = (𝑠 + 1))
7978oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℕ → ((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) = ((𝑠 + 1) 𝑋))
8077fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)) = (𝑏𝑠))
8180fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1))) = (𝑇‘(𝑏𝑠)))
8279, 81oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℕ → (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8382ad2antrl 763 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8476, 83sylan9eqr 2677 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1)) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8525, 57, 59, 71, 84gsumsnd 18280 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8685oveq2d 6626 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
8724, 54, 863eqtrd 2659 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
881ad2antrl 763 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
894, 5pmatlmod 20427 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
9028, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
91903adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
9291adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ LMod)
9392adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ LMod)
944ply1ring 19546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9527, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
96953ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
97 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
9897ringmgp 18481 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
10099adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
101100adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
102 elfznn0 12381 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
103102adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
104 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
1057, 4, 104vr1cl 19515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
10627, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1071063ad2ant2 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
108107adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
109108adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11097, 104mgpbas 18423 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
111110, 8mulgnn0cl 17486 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
112101, 103, 109, 111syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
1134ply1crng 19496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
114113anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
1151143adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
1165matsca2 20154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
118117eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑃)
119118fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
120119eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
121120adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
122121adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
123112, 122mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
12431adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Ring)
125124adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ Ring)
126 simpll1 1098 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
12739adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
128 simpll3 1100 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑀𝐵)
1296, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 20459 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
130126, 127, 128, 129syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
13188adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑠 ∈ ℕ0)
132 simprr 795 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))
133132anim1i 591 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
1342, 3, 4, 5, 6m2pmfzmap 20480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠))) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
135126, 127, 131, 133, 134syl31anc 1326 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
13625, 10ringcl 18489 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
137125, 130, 135, 136syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
138 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
139 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
14025, 138, 9, 139lmodvscl 18808 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
14193, 123, 137, 140syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
14225, 26, 34, 88, 141gsummptfzsplitl 18261 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
143 0nn0 11258 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
144143a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 0 ∈ ℕ0)
145 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(mulGrp‘𝑃)) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
146110, 145, 8mulg0 17474 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
147107, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
148147adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
149148oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((0g‘(mulGrp‘𝑃)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
150 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑃) = (1r𝑃)
15197, 150ringidval 18431 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
152151a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
153152eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0g‘(mulGrp‘𝑃)) = (1r𝑃))
154153oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0g‘(mulGrp‘𝑃)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
155117adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
156155fveq2d 6157 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (1r𝑃) = (1r‘(Scalar‘𝑌)))
157156oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
15827, 129syl3an2 1357 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
160 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ ℕ) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
161 elnn0uz 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ (ℤ‘0))
1621, 161sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
163 eluzfz1 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑠))
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℕ → 0 ∈ (0...𝑠))
165164adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ ℕ) → 0 ∈ (0...𝑠))
166160, 165ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ ℕ) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
167166ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 → (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘0) ∈ 𝐵))
16841, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘0) ∈ 𝐵))
169168impcom 446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
170169adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
1716, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 20459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘0) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌))
17260, 39, 170, 171syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌))
17325, 10ringcl 18489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))
174124, 159, 172, 173syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))
175 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
17625, 138, 9, 175lmodvs1 18819 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ LMod ∧ ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
17792, 174, 176syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
178157, 177eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
179149, 154, 1783eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
180179, 174eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) ∈ (Base‘𝑌))
181 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 𝑋) = (0 𝑋))
182 fveq2 6153 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 0 → (𝑏𝑖) = (𝑏‘0))
183182fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑇‘(𝑏𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘0)))
184183oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
185181, 184oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
186185adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
18725, 57, 144, 180, 186gsumsnd 18280 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
188110, 151, 8mulg0 17474 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
189107, 188syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
190189adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
191190oveq1d 6625 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
192187, 191, 1783eqtrd 2659 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
193192oveq2d 6626 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
194142, 193eqtrd 2655 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
19587, 194oveq12d 6628 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
196 fzfid 12719 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin)
197 simpll1 1098 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑁 ∈ Fin)
19839adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
19941adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
200199adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
201 nnz 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
202 fzoval 12419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℤ → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
204203eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ → (0...(𝑠 − 1)) = (0..^𝑠))
205204eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑠)))
206 elfzofz 12433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
207205, 206syl6bi 243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
208207adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
209208imp 445 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
210200, 209ffvelrnd 6321 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
211210adantll 749 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
212 elfznn0 12381 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
213212adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21449a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 1 ∈ ℕ0)
215213, 214nn0addcld 11306 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
216197, 198, 211, 215, 52syl22anc 1324 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
217216ralrimiva 2961 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))(((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
21825, 34, 196, 217gsummptcl 18294 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
21925, 26cmncom 18137 . . . . 5 ((𝑌 ∈ CMnd ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
22034, 218, 71, 219syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
221220oveq1d 6625 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
222 ringgrp 18480 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
22331, 222syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
224223adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Grp)
225 fzfid 12719 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
22692adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ LMod)
227100adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
228 elfznn 12319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ)
229228nnnn0d 11302 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
230229adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
231108adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
232227, 230, 231, 111syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
233117fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
234233adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
235234adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
236232, 235eleqtrd 2700 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
237124adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ Ring)
238159adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
239 simpll1 1098 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
24039adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
241199adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
242241adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
243 1eluzge0 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ (ℤ‘0)
244 fzss1 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑠) ⊆ (0...𝑠))
245243, 244mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → (1...𝑠) ⊆ (0...𝑠))
246245sseld 3586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
247246ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
248247imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
249242, 248ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
2506, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 20459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑖) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
251239, 240, 249, 250syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
252237, 238, 251, 136syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
253226, 236, 252, 140syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
254253ralrimiva 2961 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑠)((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
25525, 34, 225, 254gsummptcl 18294 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
256 cpmadugsum.s . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
25725, 26, 256grpaddsubass 17433 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))))
258224, 71, 218, 255, 257syl13anc 1325 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))))
259 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑖 → (𝑥 − 1) = (𝑖 − 1))
260259oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑥 − 1) + 1) = ((𝑖 − 1) + 1))
261260oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑖 → (((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) = (((𝑖 − 1) + 1) 𝑋))
262259fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑖 → (𝑏‘(𝑥 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
263262fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))
264261, 263oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑖 → ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))) = ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
265264cbvmptv 4715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
266228nncnd 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℂ)
267266adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℂ)
268 npcan1 10406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℂ → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
269267, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
270269oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) = (𝑖 𝑋))
271270oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
272271mpteq2dva 4709 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))))
273265, 272syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))))
274273oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))))
275274ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))))
276275oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
277 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑌) = (0g𝑌)
278 1zzd 11359 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 1 ∈ ℤ)
279 0zd 11340 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 0 ∈ ℤ)
28036nn0zd 11431 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
281 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
282281oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑥 − 1) → ((𝑖 + 1) 𝑋) = (((𝑥 − 1) + 1) 𝑋))
283 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑏𝑖) = (𝑏‘(𝑥 − 1)))
284283fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))
285282, 284oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) = ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))
28625, 277, 34, 278, 279, 280, 216, 285gsummptshft 18264 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
287 0p1e1 11083 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
288287a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0 + 1) = 1)
28977ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
290288, 289oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) = (1...𝑠))
291290mpteq1d 4703 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))))
292291oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
293286, 292eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
294293oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
295 ringabl 18508 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
29631, 295syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
297296adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Abel)
298228adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ)
299 nnz 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
300 elfzm1b 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1))))
301299, 201, 300syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1))))
302203adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
303302eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0...(𝑠 − 1)) = (0..^𝑠))
304303eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑠)))
305 elfzofz 12433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
306304, 305syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
307301, 306sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
308307expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
309298, 308mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
310309ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
311310ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
312311imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
313242, 312ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵)
3142, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 20473 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵𝑖 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌))
315239, 240, 313, 230, 314syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌))
316 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
317 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))
31825, 256, 297, 225, 315, 253, 316, 317gsummptfidmsub 18278 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
319276, 294, 3183eqtr4d 2665 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
320319oveq2d 6626 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))))
321224adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ Grp)
32225, 256grpsubcl 17423 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌)) → (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
323321, 315, 253, 322syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
324323ralrimiva 2961 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑠)(((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
32525, 34, 225, 324gsummptcl 18294 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌))
32625, 26cmncom 18137 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ CMnd ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
32734, 71, 325, 326syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
328258, 320, 3273eqtrd 2659 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
329328oveq1d 6625 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
33025, 26mndcl 17229 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
33157, 71, 218, 330syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
33225, 26, 256, 297, 331, 255, 174ablsubsub4 18152 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
33325, 26, 256grpaddsubass 17433 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
334224, 325, 71, 174, 333syl13anc 1325 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
335329, 332, 3343eqtr3d 2663 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
3366, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 20459 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ (Base‘𝑌))
337239, 240, 313, 336syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ (Base‘𝑌))
33825, 9, 138, 139, 256, 226, 236, 337, 252lmodsubdi 18848 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
339338eqcomd 2627 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
340339mpteq2dva 4709 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
341340oveq2d 6626 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
342341oveq1d 6625 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
343221, 335, 3423eqtrd 2659 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
34416, 195, 3433eqtrd 2659 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  {csn 4153  cmpt 4678  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809  Fincfn 7906  cc 9885  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890  cmin 10217  cn 10971  0cn0 11243  cz 11328  cuz 11638  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  Basecbs 15788  +gcplusg 15869  .rcmulr 15870  Scalarcsca 15872   ·𝑠 cvsca 15873  0gc0g 16028   Σg cgsu 16029  Mndcmnd 17222  Grpcgrp 17350  -gcsg 17352  .gcmg 17468  CMndccmn 18121  Abelcabl 18122  mulGrpcmgp 18417  1rcur 18429  Ringcrg 18475  CRingccrg 18476  LModclmod 18791  var1cv1 19474  Poly1cpl1 19475   Mat cmat 20141   matToPolyMat cmat2pmat 20437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-hom 15894  df-cco 15895  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-prds 16036  df-pws 16038  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-ghm 17586  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-subrg 18706  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-assa 19240  df-ascl 19242  df-psr 19284  df-mvr 19285  df-mpl 19286  df-opsr 19288  df-psr1 19478  df-vr1 19479  df-ply1 19480  df-dsmm 20004  df-frlm 20019  df-mamu 20118  df-mat 20142  df-mat2pmat 20440
This theorem is referenced by:  cpmadugsumfi  20610
  Copyright terms: Public domain W3C validator