Theorem gznegcl 16271

Description: The gaussian integers are closed under negation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gznegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gznegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16268	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negcld 10984	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1	renegd 14568	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
4		elgz 16267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
5	4	simp2bi 1142	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
6	5	znegcld 12090	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℤ)
8	1	imnegd 14569	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
9	4	simp3bi 1143	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
10	9	znegcld 12090	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
11	8, 10	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘-𝐴) ∈ ℤ)
12		elgz 16267	. 2 ⊢ (-𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘-𝐴) ∈ ℤ))
13	2, 7, 11, 12	syl3anbrc 1339	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  ℂcc 10535  -cneg 10871  ℤcz 11982  ℜcre 14456  ℑcim 14457  ℤ[i]cgz 16265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-z 11983  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-gz 16266

This theorem is referenced by:  gzsubcl  16276  gzsubrg  20599