Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfgi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssfgi 37122
 Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfgi.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfgi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islssfgi.x 𝑋 = (𝑊s (𝑁𝐵))
Assertion
Ref Expression
islssfgi ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem islssfgi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islssfgi.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
43elpw2 4788 . . . . . 6 (𝐵 ∈ 𝒫 𝑉𝐵𝑉)
54biimpri 218 . . . . 5 (𝐵𝑉𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
653ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
7 simp3 1061 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
86, 7elind 3776 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
9 eqid 2621 . . 3 (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)
10 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑎 = 𝐵 → (𝑁𝑎) = (𝑁𝐵))
1110eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑎 = 𝐵 → ((𝑁𝑎) = (𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)))
1211rspcev 3295 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵))
138, 9, 12sylancl 693 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵))
14 simp1 1059 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
15 eqid 2621 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
16 islssfgi.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
171, 15, 16lspcl 18895 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18173adant3 1079 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
19 islssfgi.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s (𝑁𝐵))
2019, 15, 16, 1islssfg2 37121 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵)))
2114, 18, 20syl2anc 692 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵)))
2213, 21mpbird 247 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908  Vcvv 3186   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  𝒫 cpw 4130  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781   ↾s cress 15782  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LFinGenclfig 37117 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lfig 37118 This theorem is referenced by:  lsmfgcl  37124  lmhmfgima  37134  lmhmfgsplit  37136
 Copyright terms: Public domain W3C validator