Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasgrplem1 37191
Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7964 . . 3 (𝐶𝐵𝐵𝐶)
2 bren 7924 . . 3 (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
31, 2bitri 264 . 2 (𝐶𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
4 eqidd 2622 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑓s 𝑅) = (𝑓s 𝑅))
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7 f1ofo 6111 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑓:𝐵onto𝐶)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵onto𝐶)
9 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Abel)
104, 6, 8, 9imasbas 16112 . . . . . 6 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 = (Base‘(𝑓s 𝑅)))
11 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
12 ablgrp 18138 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
1312adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Grp)
144, 6, 11, 13imasgim 37189 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓s 𝑅)))
15 brgici 17652 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓s 𝑅)) → 𝑅𝑔 (𝑓s 𝑅))
16 gicabl 37188 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑔 (𝑓s 𝑅) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel))
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel))
189, 17mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑓s 𝑅) ∈ Abel)
19 basfn 37190 . . . . . . . 8 Base Fn V
20 ssv 3610 . . . . . . . 8 Abel ⊆ V
21 fnfvima 6461 . . . . . . . 8 ((Base Fn V ∧ Abel ⊆ V ∧ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel) → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2219, 20, 21mp3an12 1411 . . . . . . 7 ((𝑓s 𝑅) ∈ Abel → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2410, 23eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
2524ex 450 . . . 4 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
2625exlimiv 1855 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
2726impcom 446 . 2 ((𝑅 ∈ Abel ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
283, 27sylan2b 492 1 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  Vcvv 3190  wss 3560   class class class wbr 4623  cima 5087   Fn wfn 5852  ontowfo 5855  1-1-ontowf1o 5856  cfv 5857  (class class class)co 6615  cen 7912  Basecbs 15800  s cimas 16104  Grpcgrp 17362   GrpIso cgim 17639  𝑔 cgic 17640  Abelcabl 18134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-0g 16042  df-imas 16108  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-ghm 17598  df-gim 17641  df-gic 17642  df-cmn 18135  df-abl 18136
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  37195
  Copyright terms: Public domain W3C validator