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Theorem iunrelexpmin2 38423
 Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers (including zero) is the minimum reflexive-transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iunrelexpmin2.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
Assertion
Ref Expression
iunrelexpmin2 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑁,𝑠   𝑅,𝑛,𝑟   𝑅,𝑠   𝑛,𝑉,𝑟   𝑉,𝑠,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑠)

Proof of Theorem iunrelexpmin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunrelexpmin2.def . . . . 5 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
21a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛)))
3 simplr 809 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑁 = ℕ0)
4 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
54oveq1d 6780 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
63, 5iuneq12d 4654 . . . 4 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
7 elex 3316 . . . . 5 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
87adantr 472 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → 𝑅 ∈ V)
9 nn0ex 11411 . . . . . 6 0 ∈ V
10 ovex 6793 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
119, 10iunex 7264 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
132, 6, 8, 12fvmptd 6402 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → (𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
14 relexp0g 13882 . . . . . . . 8 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
1514sseq1d 3738 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ↔ ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠))
16 relexp1g 13886 . . . . . . . 8 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1716sseq1d 3738 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠𝑅𝑠))
1815, 173anbi12d 1513 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) ↔ (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)))
19 elnn0 11407 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0))
20 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟1))
2120sseq1d 3738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠))
2221imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)))
23 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟𝑦))
2423sseq1d 3738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠))
2524imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)))
26 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
2726sseq1d 3738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠))
2827imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
29 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟𝑛))
3029sseq1d 3738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
3130imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
32 simpr2 1212 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)
33 simp1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℕ)
34 1nn 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 1 ∈ ℕ)
36 simp2l 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑅𝑉)
37 relexpaddnn 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
3833, 35, 36, 37syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
39 simp2r3 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)
40 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)
41 simp2r2 1313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)
4239, 40, 41trrelssd 13834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) ⊆ 𝑠)
4338, 42eqsstr3d 3746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)
44433exp 1112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → ((𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠 → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
4544a2d 29 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
4622, 25, 28, 31, 32, 45nnind 11151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
47 simpr1 1210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠)
48 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 0 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟0))
4948sseq1d 3738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 0 → ((𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠))
5047, 49syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5146, 50jaoi 393 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0) → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5219, 51sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5352com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5453ralrimiv 3067 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
55 iunss 4669 . . . . . . . 8 ( 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
5654, 55sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
5756ex 449 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5818, 57sylbird 250 . . . . 5 (𝑅𝑉 → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5958adantr 472 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
60 sseq1 3732 . . . . 5 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) → ((𝐶𝑅) ⊆ 𝑠 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
6160imbi2d 329 . . . 4 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) → (((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠) ↔ ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
6259, 61syl5ibr 236 . . 3 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) → ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠)))
6313, 62mpcom 38 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
6463alrimiv 1968 1 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072  ∀wal 1594   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ∀wral 3014  Vcvv 3304   ∪ cun 3678   ⊆ wss 3680  ∪ ciun 4628   ↦ cmpt 4837   I cid 5127  dom cdm 5218  ran crn 5219   ↾ cres 5220   ∘ ccom 5222  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  ℕcn 11133  ℕ0cn0 11405  ↑𝑟crelexp 13880 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-seq 12917  df-relexp 13881 This theorem is referenced by:  dfrtrcl3  38444
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