Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem3 33800
 Description: Lemma for lcvexch 33803. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.q (𝜑𝑅𝑆)
lcvexch.d (𝜑𝑇𝑅)
lcvexch.e (𝜑𝑅 ⊆ (𝑇 𝑈))
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem3 (𝜑 → ((𝑅𝑈) 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem3
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lcvexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 18877 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lcvexch.q . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
64, 5sseldd 3584 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lcvexch.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
84, 7sseldd 3584 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lcvexch.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
104, 9sseldd 3584 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lcvexch.d . . 3 (𝜑𝑇𝑅)
12 lcvexch.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
1312lsmmod2 18010 . . 3 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑇𝑅) → (𝑅 ∩ (𝑈 𝑇)) = ((𝑅𝑈) 𝑇))
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1326 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 𝑇)) = ((𝑅𝑈) 𝑇))
15 lcvexch.e . . . 4 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑇 𝑈))
16 lmodabl 18831 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
171, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
1812lsmcom 18182 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
1917, 10, 8, 18syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
2015, 19sseqtrd 3620 . . 3 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑈 𝑇))
21 df-ss 3569 . . 3 (𝑅 ⊆ (𝑈 𝑇) ↔ (𝑅 ∩ (𝑈 𝑇)) = 𝑅)
2220, 21sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 𝑇)) = 𝑅)
2314, 22eqtr3d 2657 1 (𝜑 → ((𝑅𝑈) 𝑇) = 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  SubGrpcsubg 17509  LSSumclsm 17970  Abelcabl 18115  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851   ⋖L clcv 33782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852 This theorem is referenced by:  lcvexchlem5  33802
 Copyright terms: Public domain W3C validator