Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem5 34643
Description: Lemma for lcvexch 34644. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.g (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem5 (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))

Proof of Theorem lcvexchlem5
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcvexch.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lcvexch.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
3 lcvexch.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lcvexch.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑆)
5 lcvexch.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
61lssincl 19013 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
8 lcvexch.g . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
91, 2, 3, 7, 5, 8lcvpss 34629 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈)
10 lcvexch.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
111, 10, 2, 3, 4, 5lcvexchlem1 34639 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))
129, 11mpbird 247 . 2 (𝜑𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈))
13 simp3l 1109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑇𝑠)
14 ssrin 3871 . . . . . . . 8 (𝑇𝑠 → (𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈))
16 inss2 3867 . . . . . . 7 (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈
1715, 16jctir 560 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈))
1883ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
191, 2, 3, 7, 5lcvbr3 34628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)))))
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)))))
213adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
22 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
235adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑈𝑆)
241lssincl 19013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆𝑈𝑆) → (𝑠𝑈) ∈ 𝑆)
2521, 22, 23, 24syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑠𝑈) ∈ 𝑆)
26 sseq2 3660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠𝑈) → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟 ↔ (𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈)))
27 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠𝑈) → (𝑟𝑈 ↔ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈))
2826, 27anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠𝑈) → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈)))
29 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ↔ (𝑠𝑈) = (𝑇𝑈)))
30 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠𝑈) → (𝑟 = 𝑈 ↔ (𝑠𝑈) = 𝑈))
3129, 30orbi12d 746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠𝑈) → ((𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈) ↔ ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈)))
3228, 31imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑠𝑈) → ((((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)) ↔ (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3332rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑈) ∈ 𝑆 → (∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)) → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3425, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑆) → (∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)) → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3534adantld 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → (((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈))) → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3620, 35sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆) → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
37363adant3 1101 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3818, 37mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈)))
3917, 38mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))
40 oveq1 6697 . . . . . . 7 ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) → ((𝑠𝑈) 𝑇) = ((𝑇𝑈) 𝑇))
4133ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑊 ∈ LMod)
4243ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑇𝑆)
4353ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑈𝑆)
44 simp2 1082 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑠𝑆)
45 simp3r 1110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))
461, 10, 2, 41, 42, 43, 44, 13, 45lcvexchlem3 34641 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑠𝑈) 𝑇) = 𝑠)
471lsssssubg 19006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4948, 7sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5048, 4sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
51 inss1 3866 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
5310lsmss1 18125 . . . . . . . . . 10 (((𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑈) 𝑇) = 𝑇)
5449, 50, 52, 53syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇𝑈) 𝑇) = 𝑇)
55543ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑈) 𝑇) = 𝑇)
5646, 55eqeq12d 2666 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (((𝑠𝑈) 𝑇) = ((𝑇𝑈) 𝑇) ↔ 𝑠 = 𝑇))
5740, 56syl5ib 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) → 𝑠 = 𝑇))
58 oveq1 6697 . . . . . . 7 ((𝑠𝑈) = 𝑈 → ((𝑠𝑈) 𝑇) = (𝑈 𝑇))
59 lmodabl 18958 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
603, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
6148, 5sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6210lsmcom 18307 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 𝑇) = (𝑇 𝑈))
6360, 61, 50, 62syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 𝑇) = (𝑇 𝑈))
64633ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (𝑈 𝑇) = (𝑇 𝑈))
6546, 64eqeq12d 2666 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (((𝑠𝑈) 𝑇) = (𝑈 𝑇) ↔ 𝑠 = (𝑇 𝑈)))
6658, 65syl5ib 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑠𝑈) = 𝑈𝑠 = (𝑇 𝑈)))
6757, 66orim12d 901 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈))))
6839, 67mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈)))
69683exp 1283 . . 3 (𝜑 → (𝑠𝑆 → ((𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈)))))
7069ralrimiv 2994 . 2 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 ((𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈))))
711, 10lsmcl 19131 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
723, 4, 5, 71syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
731, 2, 3, 4, 72lcvbr3 34628 . 2 (𝜑 → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑠𝑆 ((𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈))))))
7412, 70, 73mpbir2and 977 1 (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cin 3606  wss 3607  wpss 3608   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  SubGrpcsubg 17635  LSSumclsm 18095  Abelcabl 18240  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  L clcv 34623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lcv 34624
This theorem is referenced by:  lcvexch  34644
  Copyright terms: Public domain W3C validator