Theorem limsuppnfdlem 42056

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfdlem.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
limsuppnfdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfdlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsuppnfdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfdlem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		reex 10625	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
4		limsuppnfdlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	3, 4	ssexd 5225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6	1, 5	fexd 41453	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		limsuppnfdlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8	7	limsupval 14827	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
10	1	ffund 6515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
11	10	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
12		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
13	1	fdmd 6520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
14	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
15	12, 14	eleqtrrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
16	11, 15	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
17	16	ad4ant13 749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
18		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 10688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
20		pnfxr 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
22	4	ssrexr 41780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
23	22	sselda 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
24	23	ad4ant13 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
25		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
26	4	sselda 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
27	26	ltpnfd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 < +∞)
28	27	ad4ant13 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 < +∞)
29	19, 21, 24, 25, 28	elicod 12785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
30		funfvima 6989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹) → (𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
31	17, 29, 30	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32	1	ffvelrnda 6848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
33	32	ad4ant13 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
34	31, 33	elind 4168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
35	34	adantllr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
36	35	adantrr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
37		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
38		breq2 5067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑗) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
39	38	rspcev 3622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
40	36, 37, 39	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
41		limsuppnfdlem.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
42	41	r19.21bi 3207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
43	42	r19.21bi 3207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
44	43	an32s 650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
45	40, 44	r19.29a 3288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
46	45	ralrimiva 3181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
47		inss2 4203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48		supxrunb3 41746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
49	47, 48	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
50	46, 49	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
51	50	mpteq2dva 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
52	7, 51	syl5eq 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
53	52	rneqd 5805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
54		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞)
55		ren0 41749	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
57	54, 56	rnmptc 6966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
58	53, 57	eqtrd 2855	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = {+∞})
59	58	infeq1d 8938	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
60		xrltso 12532	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
61		infsn 8966	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
62	60, 20, 61	mp2an 690	. . 3 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
63	62	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
64	9, 59, 63	3eqtrd 2859	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∀wral 3137  ∃wrex 3138  Vcvv 3493   ∩ cin 3932   ⊆ wss 3933  ∅c0 4288  {csn 4564   class class class wbr 5063   ↦ cmpt 5143   Or wor 5470  dom cdm 5552  ran crn 5553   “ cima 5555  Fun wfun 6346  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  supcsup 8901  infcinf 8902  ℝcr 10533  +∞cpnf 10669  ℝ^*cxr 10671   < clt 10672   ≤ cle 10673  [,)cico 12738  lim supclsp 14823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611  ax-pre-sup 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4836  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5457  df-po 5471  df-so 5472  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-ico 12742  df-limsup 14824

This theorem is referenced by:  limsuppnfd  42057