Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuppnfdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuppnfdlem 40251
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnfdlem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfdlem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfdlem.u (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
limsuppnfdlem.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuppnfdlem (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsuppnfdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuppnfdlem.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2 reex 10065 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsuppnfdlem.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 4838 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
61, 5fexd 39610 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
7 limsuppnfdlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
87limsupval 14249 . . 3 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
96, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
107a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
11 limsuppnfdlem.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1211r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1312r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1413an32s 863 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
151ffund 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → Fun 𝐹)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐴) → Fun 𝐹)
17 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
181fdmd 39734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
2017, 19eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
2116, 20jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐴) → (Fun 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
2221ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (Fun 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
23 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
2423rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
25 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
27 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ ⊆ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
294, 28sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3130, 17sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
3231ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
33 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
344sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
35 ltpnf 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < +∞)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 < +∞)
3736ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 < +∞)
3824, 26, 32, 33, 37elicod 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
39 funfvima 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹) → (𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
4022, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
411ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
4241ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
4340, 42elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4443adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4544adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
46 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
47 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
48 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑗) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4947, 48rspce 3335 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
5045, 46, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
5150ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦))
5251rexlimdva 3060 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦))
5314, 52mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
5453ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
55 inss2 3867 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
57 supxrunb3 39936 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
5954, 58mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
6059mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
6110, 60eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
6261rneqd 5385 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
63 eqid 2651 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞)
6425a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
65 ren0 39939 . . . . . 6 ℝ ≠ ∅
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
6763, 64, 66rnmptc 39667 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
6862, 67eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → ran 𝐺 = {+∞})
6968infeq1d 8424 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
70 xrltso 12012 . . . . 5 < Or ℝ*
7170, 25pm3.2i 470 . . . 4 ( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
72 infsn 8451 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
7371, 72ax-mp 5 . . 3 inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
7473a1i 11 . 2 (𝜑 → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
759, 69, 743eqtrd 2689 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Or wor 5063  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  infcinf 8388  cr 9973  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,)cico 12215  lim supclsp 14245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-ico 12219  df-limsup 14246
This theorem is referenced by:  limsuppnfd  40252
  Copyright terms: Public domain W3C validator