MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltpnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltpnfd 11940
Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ltpnfd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltpnfd (𝜑𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnfd
StepHypRef Expression
1 ltpnfd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltpnf 11939 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 < +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988   class class class wbr 4644  cr 9920  +∞cpnf 10056   < clt 10059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-xp 5110  df-pnf 10061  df-xr 10063  df-ltxr 10064
This theorem is referenced by:  limsupgre  14193  fprodge1  14707  mbflimsup  23414  absfico  39226  supxrge  39367  infxr  39396  infleinflem2  39400  xrralrecnnge  39426  iocopn  39549  ge0lere  39562  ressiooinf  39587  uzinico  39590  uzubioo  39597  fsumge0cl  39605  limcicciooub  39669  limcresiooub  39674  limcleqr  39676  limsupresico  39732  limsupmnflem  39752  liminfresico  39797  limsup10exlem  39798  icccncfext  39863  fourierdlem31  40118  fourierdlem33  40120  fourierdlem46  40132  fourierdlem48  40134  fourierdlem49  40135  fourierdlem75  40161  fourierdlem85  40171  fourierdlem88  40174  fourierdlem95  40181  fourierdlem103  40189  fourierdlem104  40190  fourierdlem107  40193  fourierdlem109  40195  fourierdlem112  40198  fouriersw  40211  ioorrnopnxrlem  40289  sge0tsms  40360  sge0isum  40407  sge0ad2en  40411  sge0xaddlem2  40414  voliunsge0lem  40452  meassre  40457  omessre  40487  omeiunltfirp  40496  hoiprodcl  40524  ovnsubaddlem1  40547  hoiprodcl3  40557  hoidmvcl  40559  sge0hsphoire  40566  hoidmv1lelem1  40568  hoidmv1lelem2  40569  hoidmv1lelem3  40570  hoidmv1le  40571  hoidmvlelem1  40572  hoidmvlelem3  40574  hoidmvlelem4  40575  volicorege0  40614  ovolval5lem1  40629  pimgtpnf2  40680
  Copyright terms: Public domain W3C validator