Theorem lmhmf 19806

Description: A homomorphism of left modules is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lmhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem lmhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmghm 19803	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2		lmhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		lmhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4	2, 3	ghmf 18362	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   GrpHom cghm 18355   LMHom clmhm 19791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-ghm 18356  df-lmhm 19794

This theorem is referenced by:  islmhm2  19810  lmhmco  19815  lmhmplusg  19816  lmhmvsca  19817  lmhmf1o  19818  lmhmima  19819  lmhmpreima  19820  lmhmlsp  19821  lmhmrnlss  19822  lmhmeql  19827  lspextmo  19828  lmimcnv  19839  ipcl  20777  frlmup3  20944  nmoleub2lem  23718  nmoleub2lem3  23719  nmoleub3  23723  nmhmcn  23724  dimkerim  31023  kercvrlsm  39703  lmhmfgima  39704  lnmepi  39705  lmhmfgsplit  39706  pwssplit4  39709  mendring  39812  mendlmod  39813  mendassa  39814