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Theorem nmoleub2lem 22827
Description: Lemma for nmoleub2a 22830 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem.6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
nmoleub2lem.7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
21adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
3 inss1 3813 . . . . . . . . . . . 12 (NrmMod ∩ ℂMod) ⊆ NrmMod
4 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
53, 4sseldi 3582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
6 nlmngp 22394 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
87ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
9 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑆)
11 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1210, 11lmhmf 18956 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
139, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
1413ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
15 simprl 793 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑥𝑉)
1614, 15ffvelrnd 6318 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
17 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (norm‘𝑇)
1811, 17nmcl 22333 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
198, 16, 18syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
20 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2120ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2219, 21rerpdivcld 11850 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
2322rexrd 10036 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
24 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
253, 24sseldi 3582 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
26 nlmngp 22394 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
28 lmghm 18953 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
299, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
30 nmoleub2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3130nmocl 22437 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3227, 7, 29, 31syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3332ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
34 nmoleub2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3534ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3621rpred 11819 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
37 rexmul 12047 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3822, 36, 37syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3919recnd 10015 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4036recnd 10015 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
4121rpne0d 11824 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
4239, 40, 41divcan1d 10749 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4338, 42eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4419rexrd 10036 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
4527ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
46 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (norm‘𝑆)
4710, 46nmcl 22333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4845, 15, 47syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4948rexrd 10036 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ*)
5033, 49xmulcld 12078 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ∈ ℝ*)
5121rpxrd 11820 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
5233, 51xmulcld 12078 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e 𝑅) ∈ ℝ*)
5329ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5430, 10, 46, 17nmoix 22446 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5545, 8, 53, 15, 54syl31anc 1326 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5630nmoge0 22438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5727, 7, 29, 56syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5832, 57jca 554 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
5958ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
60 simprr 795 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)
61 xlemul2a 12065 . . . . . . . . . 10 ((((𝐿𝑥) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹))) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6249, 51, 59, 60, 61syl31anc 1326 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6344, 50, 52, 55, 62xrletrd 11940 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6443, 63eqbrtrd 4637 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
65 xlemul1 12066 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6623, 33, 21, 65syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6764, 66mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹))
68 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
6923, 33, 35, 67, 68xrletrd 11940 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)
7069expr 642 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
712, 70syld 47 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
7271ralrimiva 2960 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
73 eqid 2621 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
7427ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
757ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7629ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
77 simpr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
78 nmoleub2lem.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
7978adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
80 nmoleub2lem.6 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
8130, 10, 46, 17, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 80nmolb2d 22435 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8232ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
83 pnfge 11911 . . . . 5 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
8482, 83syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
85 simpr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
8684, 85breqtrrd 4643 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8734adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
88 ge0nemnf 11950 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
8987, 78, 88syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≠ -∞)
9087, 89jca 554 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
91 xrnemnf 11898 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9290, 91sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9381, 86, 92mpjaodan 826 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
9472, 93impbida 876 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cin 3555   class class class wbr 4615  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  cr 9882  0cc0 9883   · cmul 9888  +∞cpnf 10018  -∞cmnf 10019  *cxr 10020  cle 10022   / cdiv 10631  +crp 11779   ·e cxmu 11892  Basecbs 15784  Scalarcsca 15868  0gc0g 16024   GrpHom cghm 17581   LMHom clmhm 18941  normcnm 22294  NrmGrpcngp 22295  NrmModcnlm 22298   normOp cnmo 22422  ℂModcclm 22775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ico 12126  df-0g 16026  df-topgen 16028  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-ghm 17582  df-lmhm 18944  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-xms 22038  df-ms 22039  df-nm 22300  df-ngp 22301  df-nlm 22304  df-nmo 22425  df-nghm 22426
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  22829  nmoleub3  22832
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