Theorem lnoppnhpg 25374

Description: If two points lie on the opposite side of a line 𝐷, they are not on the same half-plane. Theorem 9.9 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishpg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ishpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
ishpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgbr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnoppnhpg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lnoppnhpg	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝐵,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lnoppnhpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishpg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2609	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		ishpg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ishpg.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		ishpg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		ishpg.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7		ishpg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hpgbr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	oppnid 25356	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵𝑂𝐵)
10		hpgbr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		lnoppnhpg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)
12	1, 3, 5, 4, 7, 6, 10, 8, 8, 11	lnopp2hpgb 25373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐵 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
13	9, 12	mtbid 312	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∃wrex 2896   ∖ cdif 3536   class class class wbr 4577  {copab 4636  ran crn 5029  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  distcds 15723  TarskiGcstrkg 25046  Itvcitv 25052  LineGclng 25053  hpGchpg 25367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-s1 13103  df-s2 13390  df-s3 13391  df-trkgc 25064  df-trkgb 25065  df-trkgcb 25066  df-trkgld 25068  df-trkg 25069  df-cgrg 25124  df-leg 25196  df-hlg 25214  df-mir 25266  df-rag 25307  df-perpg 25309  df-hpg 25368

This theorem is referenced by: (None)