MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimbas 20035
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimbas ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

Proof of Theorem mat1dimbas
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 risset 3039 . . . . 5 (𝑋𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑟 = 𝑋)
2 eqcom 2612 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑟𝑟 = 𝑋)
32rexbii 3018 . . . . 5 (∃𝑟𝐵 𝑋 = 𝑟 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑟 = 𝑋)
41, 3sylbb2 226 . . . 4 (𝑋𝐵 → ∃𝑟𝐵 𝑋 = 𝑟)
543ad2ant3 1076 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → ∃𝑟𝐵 𝑋 = 𝑟)
6 mat1dim.o . . . . . . 7 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
7 opex 4849 . . . . . . 7 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
86, 7eqeltri 2679 . . . . . 6 𝑂 ∈ V
9 simp3 1055 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 opthg 4862 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂𝑋 = 𝑟)))
118, 9, 10sylancr 693 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂𝑋 = 𝑟)))
12 opex 4849 . . . . . 6 𝑂, 𝑋⟩ ∈ V
13 sneqbg 4305 . . . . . 6 (⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩)
15 eqid 2605 . . . . . 6 𝑂 = 𝑂
1615biantrur 525 . . . . 5 (𝑋 = 𝑟 ↔ (𝑂 = 𝑂𝑋 = 𝑟))
1711, 14, 163bitr4g 301 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ 𝑋 = 𝑟))
1817rexbidv 3029 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → (∃𝑟𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟𝐵 𝑋 = 𝑟))
195, 18mpbird 245 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → ∃𝑟𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
20 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
21 mat1dim.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2220, 21, 6mat1dimelbas 20034 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
23223adant3 1073 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
2419, 23mpbird 245 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2892  Vcvv 3168  {csn 4120  cop 4126  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  Ringcrg 18312   Mat cmat 19970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-hom 15735  df-cco 15736  df-0g 15867  df-prds 15873  df-pws 15875  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-dsmm 19833  df-frlm 19848  df-mat 19971
This theorem is referenced by:  mat1dimscm  20038  mat1rhmcl  20044
  Copyright terms: Public domain W3C validator