MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvscl 19994
Description: Closure of the scalar multiplication in the matrix ring. (lmodvscl 18645 analog.) (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matvscl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvscl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvscl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvscl.s · = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
matvscl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem matvscl
StepHypRef Expression
1 matvscl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matlmod 19992 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
32adantr 479 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → 𝐴 ∈ LMod)
4 matvscl.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
51matsca2 19983 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
65fveq2d 6088 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
74, 6syl5eq 2651 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
87eleq2d 2668 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
98biimpd 217 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
109adantrd 482 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝐶𝐾𝑋𝐵) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
1110imp 443 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
12 simprr 791 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
13 matvscl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
14 eqid 2605 . . 3 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15 matvscl.s . . 3 · = ( ·𝑠𝐴)
16 eqid 2605 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
1713, 14, 15, 16lmodvscl 18645 . 2 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)
183, 11, 12, 17syl3anc 1317 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  Fincfn 7814  Basecbs 15637  Scalarcsca 15713   ·𝑠 cvsca 15714  Ringcrg 18312  LModclmod 18628   Mat cmat 19970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-hom 15735  df-cco 15736  df-0g 15867  df-prds 15873  df-pws 15875  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-dsmm 19833  df-frlm 19848  df-mat 19971
This theorem is referenced by:  dmatscmcl  20066  scmatscmiddistr  20071  scmatmats  20074  scmatscm  20076  scmataddcl  20079  scmatsubcl  20080  scmatmulcl  20081  smatvscl  20087  scmatrhmcl  20091  scmatf1  20094  1pmatscmul  20264  mat2pmatlin  20297  mat2pmatscmxcl  20302  m2pmfzgsumcl  20310  monmatcollpw  20341  pmatcollpw  20343  pmatcollpwfi  20344  chmatcl  20390  chmatval  20391  chmaidscmat  20410  cpmidpmatlem2  20433  chcoeffeqlem  20447
  Copyright terms: Public domain W3C validator