Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  midcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem midcom 25574
 Description: Commutativity rule for the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1 (𝜑𝐴𝑃)
midcl.2 (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
midcom (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))

Proof of Theorem midcom
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 eqid 2621 . . 3 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2621 . . 3 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6 ismid.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 ismid.1 . . . 4 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
8 midcl.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
9 midcl.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
101, 2, 3, 6, 7, 8, 9midcl 25569 . . 3 (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝑃)
11 eqid 2621 . . 3 ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
12 eqidd 2622 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
131, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12midcgr 25572 . . 3 (𝜑 → ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) 𝐵) = ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) 𝐴))
141, 2, 3, 6, 7, 8, 9midbtwn 25571 . . 3 (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐵𝐼𝐴))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 9, 8, 13, 14ismir 25454 . 2 (𝜑𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))‘𝐴))
161, 2, 3, 6, 7, 9, 8, 5, 10ismidb 25570 . 2 (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴)))
1715, 16mpbid 222 1 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  2c2 11014  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  DimTarskiG≥cstrkgld 25233  Itvcitv 25235  LineGclng 25236  pInvGcmir 25447  midGcmid 25564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkgld 25251  df-trkg 25252  df-cgrg 25306  df-leg 25378  df-mir 25448  df-rag 25489  df-perpg 25491  df-mid 25566 This theorem is referenced by:  lmicom  25580  hypcgrlem1  25591  hypcgrlem2  25592  hypcgr  25593
 Copyright terms: Public domain W3C validator