MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirmir2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirmir2 25469
Description: Point inversion of a point inversion through another point. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
miriso.1 (𝜑𝑋𝑃)
miriso.2 (𝜑𝑌𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirmir2 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘(𝑀𝑌))‘(𝑀𝑋)))

Proof of Theorem mirmir2
StepHypRef Expression
1 mirval.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . 2 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . 2 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . 2 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
9 miriso.2 . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircl 25456 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
11 eqid 2621 . 2 (𝑆‘(𝑀𝑌)) = (𝑆‘(𝑀𝑌))
12 miriso.1 . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12mircl 25456 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
14 eqid 2621 . . . 4 (𝑆𝑌) = (𝑆𝑌)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12mircl 25456 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑌)‘𝑋) ∈ 𝑃)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15mircl 25456 . 2 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋)) ∈ 𝑃)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12mircgr 25452 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ((𝑆𝑌)‘𝑋)) = (𝑌 𝑋))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 9, 12, 17mircgrs 25468 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑌) (𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋))) = ((𝑀𝑌) (𝑀𝑋)))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12mirbtwn 25453 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (((𝑆𝑌)‘𝑋)𝐼𝑋))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 9, 12, 19mirbtwni 25466 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋))𝐼(𝑀𝑋)))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 13, 16, 18, 20ismir 25454 1 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘(𝑀𝑌))‘(𝑀𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  LineGclng 25236  pInvGcmir 25447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252  df-cgrg 25306  df-mir 25448
This theorem is referenced by:  mirrag  25496  colperpexlem1  25522  mirmid  25575
  Copyright terms: Public domain W3C validator