Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgsubdi 18175
 Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgsubdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdi.t · = (.g𝐺)
mulgsubdi.d = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgsubdi ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2 simpr1 1065 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr2 1066 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 ablgrp 18138 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
6 simpr3 1067 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
7 mulgsubdi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
97, 8grpinvcl 17407 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
105, 6, 9syl2anc 692 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 mulgsubdi.t . . . . 5 · = (.g𝐺)
12 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
137, 11, 12mulgdi 18172 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)(𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌))))
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1325 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)(𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌))))
157, 11, 8mulgneg2 17515 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌)))
167, 11, 8mulgneg 17500 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
1715, 16eqtr3d 2657 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
185, 2, 6, 17syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
1918oveq2d 6631 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)(𝑀 · ((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
2014, 19eqtrd 2655 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
21 mulgsubdi.d . . . . 5 = (-g𝐺)
227, 12, 8, 21grpsubval 17405 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
233, 6, 22syl2anc 692 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2423oveq2d 6631 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 𝑌)) = (𝑀 · (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))))
257, 11mulgcl 17499 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
265, 2, 3, 25syl3anc 1323 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
277, 11mulgcl 17499 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
285, 2, 6, 27syl3anc 1323 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
297, 12, 8, 21grpsubval 17405 . . 3 (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3026, 28, 29syl2anc 692 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3120, 24, 303eqtr4d 2665 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) (𝑀 · 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  -cneg 10227  ℤcz 11337  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  -gcsg 17364  .gcmg 17480  Abelcabl 18134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-cmn 18135  df-abl 18136 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator