MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgcl 17606
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnncl.t . 2 · = (.g𝐺)
3 eqid 2651 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 id 22 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
5 ssid 3657 . . 3 𝐵𝐵
65a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵𝐵)
71, 3grpcl 17477 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
8 eqid 2651 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
91, 8grpidcl 17497 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
10 eqid 2651 . 2 (invg𝐺) = (invg𝐺)
111, 10grpinvcl 17514 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11mulgsubcl 17602 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  cz 11415  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  .gcmg 17587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588
This theorem is referenced by:  mulgneg  17607  mulgnegneg  17608  mulgaddcomlem  17610  mulgaddcom  17611  mulginvcom  17612  mulgdirlem  17619  mulgdir  17620  mulgass  17626  mulgmodid  17628  mulgsubdir  17629  cycsubgcl  17667  ghmmulg  17719  odmod  18011  odcong  18014  odmulgid  18017  odmulg  18019  odmulgeq  18020  odbezout  18021  odf1  18025  dfod2  18027  odf1o2  18034  gexdvds  18045  mulgdi  18278  mulgghm  18280  mulgsubdi  18281  odadd2  18298  gexexlem  18301  iscyggen2  18329  cyggenod  18332  iscyg3  18334  ablfacrp  18511  pgpfac1lem2  18520  pgpfac1lem3a  18521  pgpfac1lem3  18522  pgpfac1lem4  18523  mulgass2  18647  mulgghm2  19893  mulgrhm  19894  zlmlmod  19919  cygznlem2a  19964  zrhpsgnelbas  19988  isarchi3  29869  archirng  29870  archirngz  29871  archiabllem1a  29873  archiabllem2c  29877  isarchiofld  29945
  Copyright terms: Public domain W3C validator