MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgcl 17328
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnncl.t . 2 · = (.g𝐺)
3 eqid 2609 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 id 22 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
5 ssid 3586 . . 3 𝐵𝐵
65a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵𝐵)
71, 3grpcl 17199 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
8 eqid 2609 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
91, 8grpidcl 17219 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
10 eqid 2609 . 2 (invg𝐺) = (invg𝐺)
111, 10grpinvcl 17236 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11mulgsubcl 17324 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539  cfv 5790  (class class class)co 6527  cz 11210  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  0gc0g 15869  Grpcgrp 17191  invgcminusg 17192  .gcmg 17309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310
This theorem is referenced by:  mulgneg  17329  mulgnegneg  17330  mulgaddcomlem  17332  mulgaddcom  17333  mulginvcom  17334  mulgdirlem  17341  mulgdir  17342  mulgass  17348  mulgmodid  17350  mulgsubdir  17351  cycsubgcl  17389  ghmmulg  17441  odmod  17734  odcong  17737  odmulgid  17740  odmulg  17742  odmulgeq  17743  odbezout  17744  odf1  17748  dfod2  17750  odf1o2  17757  gexdvds  17768  mulgdi  18001  mulgghm  18003  mulgsubdi  18004  odadd2  18021  gexexlem  18024  iscyggen2  18052  cyggenod  18055  iscyg3  18057  ablfacrp  18234  pgpfac1lem2  18243  pgpfac1lem3a  18244  pgpfac1lem3  18245  pgpfac1lem4  18246  mulgass2  18370  mulgghm2  19609  mulgrhm  19610  zlmlmod  19635  cygznlem2a  19680  zrhpsgnelbas  19704  isarchi3  28878  archirng  28879  archirngz  28880  archiabllem1a  28882  archiabllem2c  28886  isarchiofld  28954
  Copyright terms: Public domain W3C validator