Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0o1gt2ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o1gt2ALTV 41930
Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2ALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2ALTV
StepHypRef Expression
1 elnn0 11332 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnn1uz2 11803 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
3 orc 399 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
43a1d 25 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5 2z 11447 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
65eluz1i 11733 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
7 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9 zre 11419 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
108, 9leloed 10218 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
11 olc 398 . . . . . . . . . . 11 (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
1211a1d 25 . . . . . . . . . 10 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
13 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
1413eqcoms 2659 . . . . . . . . . . 11 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
15 2noddALTV 41929 . . . . . . . . . . . 12 2 ∉ Odd
16 df-nel 2927 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∉ Odd ↔ ¬ 2 ∈ Odd )
17 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∈ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1816, 17sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∉ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2014, 19syl6bi 243 . . . . . . . . . 10 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2112, 20jaoi 393 . . . . . . . . 9 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2210, 21syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
2322imp 444 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
246, 23sylbi 207 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
254, 24jaoi 393 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
262, 25sylbi 207 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
27 eleq1 2718 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
28 0noddALTV 41925 . . . . . 6 0 ∉ Odd
29 df-nel 2927 . . . . . . 7 (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
30 pm2.21 120 . . . . . . 7 (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3129, 30sylbi 207 . . . . . 6 (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3228, 31ax-mp 5 . . . . 5 (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3327, 32syl6bi 243 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3426, 33jaoi 393 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
351, 34sylbi 207 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3635imp 444 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wnel 2926   class class class wbr 4685  cfv 5926  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725   Odd codd 41863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-even 41864  df-odd 41865
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator