Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0o1gt2ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o1gt2ALTV 39948
Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2ALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2ALTV
StepHypRef Expression
1 elnn0 11141 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnn1uz2 11597 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
3 orc 398 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
43a1d 25 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5 2z 11242 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
65eluz1i 11527 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
7 2re 10937 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9 zre 11214 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
108, 9leloed 10031 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
11 olc 397 . . . . . . . . . . 11 (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
1211a1d 25 . . . . . . . . . 10 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
13 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
1413eqcoms 2617 . . . . . . . . . . 11 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
15 2noddALTV 39947 . . . . . . . . . . . 12 2 ∉ Odd
16 df-nel 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∉ Odd ↔ ¬ 2 ∈ Odd )
17 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∈ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1816, 17sylbi 205 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∉ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2014, 19syl6bi 241 . . . . . . . . . 10 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2112, 20jaoi 392 . . . . . . . . 9 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2210, 21syl6bi 241 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
2322imp 443 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
246, 23sylbi 205 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
254, 24jaoi 392 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
262, 25sylbi 205 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
27 eleq1 2675 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
28 0noddALTV 39943 . . . . . 6 0 ∉ Odd
29 df-nel 2782 . . . . . . 7 (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
30 pm2.21 118 . . . . . . 7 (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3129, 30sylbi 205 . . . . . 6 (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3228, 31ax-mp 5 . . . . 5 (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3327, 32syl6bi 241 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3426, 33jaoi 392 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
351, 34sylbi 205 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3635imp 443 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wnel 2780   class class class wbr 4577  cfv 5790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  cn 10867  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519   Odd codd 39881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-even 39882  df-odd 39883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator