MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvnd 26720
Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnd.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnd.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nvnd.6 𝑁 = (normCV𝑈)
nvnd.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvnd ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))

Proof of Theorem nvnd
StepHypRef Expression
1 nvnd.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvnd.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 26655 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
43adantr 479 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
5 eqid 2605 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
6 nvnd.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
7 nvnd.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
81, 5, 6, 7imsdval 26718 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)))
94, 8mpd3an3 1416 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)))
10 eqid 2605 . . . . . 6 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
11 eqid 2605 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
121, 10, 11, 5nvmval 26663 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
134, 12mpd3an3 1416 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
14 neg1cn 10967 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
1511, 2nvsz 26659 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1614, 15mpan2 702 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1716oveq2d 6539 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
1817adantr 479 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
191, 10, 2nv0rid 26656 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍) = 𝐴)
2013, 18, 193eqtrd 2643 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = 𝐴)
2120fveq2d 6088 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)) = (𝑁𝐴))
229, 21eqtr2d 2640 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  1c1 9789  -cneg 10114  NrmCVeccnv 26603   +𝑣 cpv 26604  BaseSetcba 26605   ·𝑠OLD cns 26606  0veccn0v 26607  𝑣 cnsb 26608  normCVcnmcv 26609  IndMetcims 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931  df-sub 10115  df-neg 10116  df-grpo 26493  df-gid 26494  df-ginv 26495  df-gdiv 26496  df-ablo 26548  df-vc 26563  df-nv 26611  df-va 26614  df-ba 26615  df-sm 26616  df-0v 26617  df-vs 26618  df-nmcv 26619  df-ims 26620
This theorem is referenced by:  nvlmle  26728  ubthlem1  26912
  Copyright terms: Public domain W3C validator