MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmval 27337
Description: Value of vector subtraction on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmval.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvmval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvmval.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmval ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))

Proof of Theorem nvmval
StepHypRef Expression
1 nvmval.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
21nvgrp 27312 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvmval.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
43, 1bafval 27299 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
5 eqid 2626 . . . 4 (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
6 eqid 2626 . . . 4 ( /𝑔𝐺) = ( /𝑔𝐺)
74, 5, 6grpodivval 27229 . . 3 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( /𝑔𝐺)𝐵) = (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐵)))
82, 7syl3an1 1356 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( /𝑔𝐺)𝐵) = (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐵)))
9 nvmval.3 . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
103, 1, 9, 6nvm 27336 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( /𝑔𝐺)𝐵))
11 nvmval.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
123, 1, 11, 5nvinv 27334 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) = ((inv‘𝐺)‘𝐵))
13123adant2 1078 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) = ((inv‘𝐺)‘𝐵))
1413oveq2d 6621 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐵)))
158, 10, 143eqtr4d 2670 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882  -cneg 10212  GrpOpcgr 27183  invcgn 27185   /𝑔 cgs 27186  NrmCVeccnv 27279   +𝑣 cpv 27280  BaseSetcba 27281   ·𝑠OLD cns 27282  𝑣 cnsb 27284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024  df-sub 10213  df-neg 10214  df-grpo 27187  df-gid 27188  df-ginv 27189  df-gdiv 27190  df-ablo 27239  df-vc 27254  df-nv 27287  df-va 27290  df-ba 27291  df-sm 27292  df-0v 27293  df-vs 27294  df-nmcv 27295
This theorem is referenced by:  nvmval2  27338  nvmdi  27343  nvpncan2  27348  nvaddsub4  27352  nvmtri  27366  imsdval2  27382  nvnd  27383  ipval3  27404  sspmval  27428  isph  27517  dipsubdir  27543
  Copyright terms: Public domain W3C validator