MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvzcl 27335
Description: Closure law for the zero vector of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvzcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvzcl.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvzcl (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)

Proof of Theorem nvzcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
2 nvzcl.6 . . 3 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 20vfval 27307 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘( +𝑣𝑈)))
41nvgrp 27318 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑈) ∈ GrpOp)
5 nvzcl.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
65, 1bafval 27305 . . . 4 𝑋 = ran ( +𝑣𝑈)
7 eqid 2621 . . . 4 (GId‘( +𝑣𝑈)) = (GId‘( +𝑣𝑈))
86, 7grpoidcl 27214 . . 3 (( +𝑣𝑈) ∈ GrpOp → (GId‘( +𝑣𝑈)) ∈ 𝑋)
94, 8syl 17 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (GId‘( +𝑣𝑈)) ∈ 𝑋)
103, 9eqeltrd 2698 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  GrpOpcgr 27189  GIdcgi 27190  NrmCVeccnv 27285   +𝑣 cpv 27286  BaseSetcba 27287  0veccn0v 27289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-nmcv 27301
This theorem is referenced by:  nvmeq0  27359  nvz0  27369  elimnv  27384  nvnd  27389  imsmetlem  27391  dip0r  27418  dip0l  27419  sspz  27436  lno0  27457  lnomul  27461  nvo00  27462  nmosetn0  27466  nmooge0  27468  0oo  27490  0lno  27491  nmoo0  27492  blocni  27506  ubthlem1  27572  minvecolem1  27576  hl0cl  27604  hhshsslem2  27971
  Copyright terms: Public domain W3C validator